59. Суммирование некоторых рядов с помощью вычетов Формула суммирования знакопеременного ряда с рациональными слагаемыми.

Т еорема (о суммировании ряда с рациональными слагаемыми): пусть R(z)=P_n(z)/Q_m(z) – рац. Ф-ция с полюсами a₁,…,a_p,отличными от целых чисел, пусть nm-2. Тогда

Док-во: I_n=_|z|=n+1/2 R(z)ctgz dz.

Выберем n достаточно большим так, чтобы a₁,…,a_p попали внутрь окрестности.

I_n=2i  res R(z) ctgz

Особенности R(z)ctg z: 1) a₁,…,a_p ; 2) sin z=0, т.е. z=k, kZ.

Покажем, что I_n0 при n. |R(z)|C/|z|². ctg z: рассмотрим С, из которой выброшены все целые точки с некоторой окр-тью.

В полученной обл. M: const|ctg z|<M.

^p_i=1res_aiR(z) ctgz+1/^+_k=-R(k)=0. 

1 Доказательство аналогично доказательству этой теоремы для функций действительной переменной

71