53. Вычисление интегралов по замкнутому контуру.

Теорема Руше.

ЕСЛИ G – односвязная область, С – замкнутый контур, ограничивающий G, и аналитические в G и на С, на С, на С, - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции , - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции + , ТО .

Док-во:

1)

2 )

3)

w

Вектор из начала координат в точку, при такой конфигурации образа С, ни одного оборота не совершит. .

4)

53. Вычисление с помощью вычетов определенных интегралов от рациональных функций действительной переменной

Интеграл типа

R(x)- рациональная ф-ия от х

C_R=[-R, R]_R

_R={zC: |z|=R, Imz>0}

Лемма (о вычислении интеграла по действительной прямой через вычеты):

пусть f(z) голоморфна в верхней полупл-ти за искл. конечного числа особых точек a₁,…,a_n и непрерывна вплоть до границы. Если выполняется: 1) _-^+f(х)dх сх-ся; 2) lim(при R) _Rf(z)dz=0, тогда выполняется следующее

где суммирование

ведётся по особым точкам ф-ции f(z), лежащим в верхней полупл-ти Im a_k>0.

Док-во: рассмотрим контур C_R=[-R,R]_R. _R={zC: |z|=R Im z>0};

Выберем R достаточно большим так, чтобы все особые точки ф-ции f(z) (a₁,…,a_n) попали вовнутрь C_R (можно, т.к. n-конечно). Вычисляем интеграл по этому контуру:

Теперь R, получим _-R^Rf(z)dz_-^+f(x)dx.

_Rf(z)dz0 в силу условия леммы, 



Замечание. Если вычислять интеграл через вычеты в особых точках, лежащих в нижней полуплоскости, то в правой части ф-лы возникает знак «-»:

57. Вычисление с помощью вычетов определенных интегралов от тригонометрических функций.

Интеграл типа

R(u,v) – ф-ия 2-х переменных.

где суммирование ведется по особым точкам, попавшим внутрь единичного круга.

58.Вычисление с помощью вычетов несобственных интегралов от функций

действительной переменной.

Теорема. Если при x=z, -изолированная особая точка f(z), имеет в нуль не ниже II порядка, не имеет особых точек на действительной оси, имеет конечное число особых точек, то , где распространяется на особые точки, лежащие выше действительной оси.

Док-во:

Возьмем круг такого радиуса, чтобы на нем и вне его не было особых точек, кроме бесконечности.

Y

R

-R R x

.

59. Лемма Жордана.

Лемма (Жордана): пусть >0 и выполняются условия: 1) g(z) непрерывна в {zC: |z|R₀>0, Im z0}; 2) M(R)=max(по z_R)|g(z)|0 при R {zC: |z|=R, Imz>0}. Тогда lim_R_R e^izg(z)dz=0.

Док-во: z=Re^i, [0,],  dz=Rie^id.

| e^iz|=|exp(i(Rcos+iRsin))|=|exp(-Rsin+iRcos)| exp(-Rsin)exp(-R2/).

y

y=2/ [0,/2], sin2/.