43. Теорема Сохотского.

Теорема (Сохоцкого) пусть а – существ. особая точка ф-ии f(z). Тогда для любого компл. числа А (в том числе и для А=)  посл-ть точек

Док-во: 1) А=

f(z) – не огр. в окр-ти т.а (следует из теор.2)

 nN  z_n  {z: |z-a|<1/n}: |f(z_n)|>n

n  z_na

2) А – конечное значение

рассм.

а – существ. особая точка для (z)

, если а – не существ. особая для (z)  а – не

существ. особая для f(z).

По 1)  {z_n}, z_n a,

48. Разложение аналитической функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Будем считать точку особой точкой любой аналитической функции. Точка является изолированной особой точкой аналитической функции , если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка переходит в точку , функция примет вид . Типом особой точки функции будем называть тип особой точки функции . Если разложение функции по степеням в окрестности точки , т.е. при достаточно больших по модулю значениях , имеет вид , то, заменив на , получим . Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням в окрестности точки . Поэтому

1. Точка - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена );

2. Точка - полюс n-го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым ;

3. Точка - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.

При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если - устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если - полюс, то этот предел бесконечен, если - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный).

49. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах.

Пусть функция аналитична в области D за исключением точки a. Разложим в окрестности этой точки в ряд Лорана:

Коэффициент называется вычетом функции в точке а и обозначается . Если - произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана, .

49. Вычисление вычетов для простого полюса.

Если а - простой полюс функции , то .

Док-во. Простой полюс - полюс первого порядка, поэтому разложение в ряд Лорана начинается с минус первой степени: . Тогда , и .

Пусть , где и - аналитические в окрестности точки а функции. Если а - простой нуль функции , и , то .

Док-во. Если а - простой нуль функции , и , то а – простой полюс функции . Тогда, по предыдущему утверждению, .