Ряд Лорана. Область сходимости ряда Лорана.
Ряд
Лорана. Пусть
функция
аналитична в кольце
.
Тогда для любой точки этого кольца
;
при этом окружности проходятся так, что
область остаётся слева. Изменим в
интеграле по внутренней окружности
направление обхода на противоположное:
.
Интеграл по внешней окружности преобразуем
так, как и при выводе формулы Тейлора:
(так
как
,
то
)
,
и ряд сходится абсолютно, поэтому его
можно почленно интегрировать:
,
где
.
Интеграл по внутренней окружности
преобразуем аналогично, учитывая только,
что на
:
.
И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому
его можно почленно интегрировать:
,
где
.
Переобозначим
,
тогда форма коэффициентов ряда для
совпадёт с формой коэффициентов ряда
для
:
поэтому окончательно для интеграла по
получим
.
Докажем, что и контур для вычисления
коэффициентов может быть взят один и
тот же. Действительно, пусть
- кусочно-гладкий контур, расположенный
в кольце
,
и точка
расположена внутри этого контура. По
теореме Коши для многосвязной области
;
,
поэтому для любого n
,
и
.
Этот ряд (содержащий
и положительные, и отрицательные степени
),
называется рядом Лорана функции
.
Его часть, содержащая неотрицательные
степени (
),
называется правильной; часть, содержащая
отрицательные степени (
),
называется главной. Правильная часть,
по самому своему построению, сходится
в круге
,
главная - во внешности круга
,
поэтому весь ряд сходится в пересечении
этих областей, т.е. в кольце
.
Так же, как и для ряда Тейлора, разложение
в ряд Лорана единственно.
Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл, как только функция теряет аналитичность.
Разложение аналитической функции в ряд Лорана.
в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл, как только функция теряет аналитичность. Рассмотрим
Пример 1.
Требуется получить все возможные
разложения в ряд Лорана по степеням
функции
.
Здесь
;
функция теряет аналитичность в точках
.
Легко видеть, что существует три области
аналитичности с центром в
(один круг и два кольца), на границах
которых функция теряет аналитичность:
1.
;
2.
;
3.
.
В каждой из этих областей разложение
будет таким:
1.
В первой области (круге) функция
аналитична, поэтому ряд Лорана будет
совпадать с рядом Тейлора.
- таково разложение
на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора
каждую их них.
,
где
;
;
это разложение справедливо, если
,
т.е. в первой и второй областях. Окончательно
в первой области
.
Этот ряд содержит только правильную
часть.
2. В кольце
знаменатель второй геометрической
прогрессии (для дроби
)
по модулю
,
поэтому разложение остаётся в силе. Для
первой дроби, с учётом того, что
,
получим
=
.
Это - главная часть ряда Лорана. Разложение
имеет вид
.
3. В кольце
для первой дроби получим разложение
так:
или
.
Для второй дроби
.
Ответ можно записать и в форме
,
и в форме
.
В этом разложении имеется только главная
часть.