Ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора некоторых элементарных функций комплексной переменной.
Ряд
Тейлора. Пусть
функция
аналитична в области D,
.
Обозначим L
окружность с центром в z0,
принадлежащую области D
вместе с ограниченным ею кругом. Тогда
для любой точки z,
лежащей внутри L,
.
Представим множитель
в виде суммы сходящейся геометрической
прогрессии:
(так
как
,
то
)
,
и ряд сходится абсолютно, поэтому его
можно почленно интегрировать:
,
так как
.
Итак,
.
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции . Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана
Теорема
о разложении функции в ряд Тейлора.
Если функция
аналитична в области D,
,
то функция
может
быть разложена в ряд Тейлора по степеням
.
Этот ряд абсолютно сходится к
внутри круга
,
где r
- расстояние от
до границы области D
(до ближайшей к
точке, в которой функция теряет
аналитичность). Это разложение единственно.
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.
Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:
;
;
;
;
;
Все
эти ряды сходятся к своим функциям на
всей плоскости (при
).
Для геометрических прогрессий имеют
место формулы
6.
.
7.
;
8.
.
Формулы Эйлера.
Ф-лы
Эйлера 1)
=>
2)
=>
3)
=>
Голоморфные функции.
Опр: ф-ция f(z) определенная в окрестности т. z0 называется голоморфной в т. z0, если в некоторой окресиности этой точки f(z) раскладывается в ряд f(z)=n=0сn(z-z0)n сход-ся в окрестности z0 (в некоторой окрестности |z-z0|<,>0).
Опр: ф-ция f(z) голоморфна в обл. D, если она голоморфна в каждой точке этой обл. D.
Теорема (о дифференц. голоморфной ф-ции): пусть f(z) голоморфна в т. z0, f(z) – диф-ма в т. z0.
Опр.: ф-ция f(z) опре-ая в окр. бесконечно удаленной точки наз-ся голоморфной в бесконечности, если в окрестности этой точки f(z) раскладывается в ряд f(z)=n=1cn/zn сход-ся в окр-ти бескон. удал. точки (некот. внеш. круга |z|>R).
Теорема(о голоморфности дифференцируемой функции): пусть функция f(z) диф-ма в области D. Тогда функция f(z) будет голоморфна в области D.
Следствие (интегральная формула Коши для производной функции): если f(z) голоморфна в области D, aD, Kr={ zC, |z-a|<r}D
Следствие (о голоморфности производной): производная голоморфной функции есть голоморфная функция.
Следствие (о представление голоморфной функции рядом Тейлора): если функция f(z) голоморфна в круге Kr={ zC, |z-a|<r}, то она представляется рядом Тейлора
f(z)= сходящимся в Кr.
Нули аналитической функции.
Определение.
Точка а
называется нулём порядка k
аналитической функции
,
если
,
но
.
Пример.
Пусть
.
Точка
- нуль этой функции, так как
.
Найдём порядок нуля:
,
.
Первая отличная от нуля производная
функции в точке
- пятая, поэтому эта точка - нуль пятого
порядка функции
.
Теорема.
Для того, чтобы аналитическая в точке
а
функция
имела в этой точке нуль k
-го порядка, необходимо и достаточно,
чтобы в окрестности этой точки функция
представлялась в виде
,
где
- аналитическая в точке а
функция, и
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть точка а
- нуль k-го
порядка функции
,
т.е.
,
и
.
Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет
вид
,
где
- аналитическая (как сумма степенного
ряда с тем же кругом сходимости, что у
ряда для
)
функция,
.
Достаточность.
Пусть
,
где
- аналитическая функция, и
.
Находим производные этой функции по
формуле Лейбница
:
;
;
………………………….;
;
,
что и требовалось доказать.
Из
этой теоремы следует, что если многочлен
разложен на множители
,
то корни
являются нулями функции
кратностей, соответственно,
.