1. Множества, области, кривые.

Опр. Если  t₁ , t₂ a,b , t₁ t₂ , s(t₁)=s(t₂), то точка z=s(t₁)=s(t₂) наз-ся точкой самопересечения (исключение случай совпадения начала и конца кривой – замкнутая кривая)

Пусть кривая  задается функцией z=(t)=u(t) + iv(t) , ta,b. Кривая  наз-ся гладкой, если  ta,b существуют производная (t)=u(t) + iv(t), (t)0. если кривая замкнута, то (а) =(b)

Опр. Мн-во точек D на С наз-ся областью, если 1) D – открыто(каждая точка D входит в D с некоторой своей окрестностью). 2)D-связно(всякие 2 точки из D можно соединить непрерывной кривой, лежащей в D)

Опр. Точка z наз-ся граничной точкой обл. D если в  ее окр-ти есть как точки принадлежащие этой обл. так и не принадлежащие обл. Совокупность интегр-х точек наз-ся границей D.

Опр. Замыканием обл. D наз-ся обл. D вместе с ее границей.

Опр. Граница обл.D наз-ся положительно ориентированной если при движении в этом направлении вдоль граничной кривой обл. остается слева.

Опр. Обл.D наз-ся ограниченной если сущ-ет круг k={zC: |z|<R}R>0 такой что обл. Dk.

Опр. Обл.наз-ся односвязной если всякую замкнутую кривую лежащую в обл. можно непрерывно стянуть в точку.

Опр. Обл. с разрезами это обл. с выброшенными из нее гладкими кривыми.

2. Комплексная плоскость.

Опр. Комплексными числами наз-ся пары действительных чисел (x,y) для которых определено понятие равенства и операции сложения и умножения следующим образом:

1. (x₁, y₁) = (x₂, y₂)  x₁=x₂, y₁=y₂

2. (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+ y₂)

3. (x₁, y₁)(x₂, y₂)=(x₁x₂ - y₁ y₂ , y₁x₂ + x₁y₂)

Опр. Комплексное число (0,1) наз-ся мнимой единицей и обозначается i; i²=(0,1)*(0,1)= -1

О пр. Частным комплекных чисел z₁ и z₂ наз=-ся комплексное число z удовлетворяющее уравнению zz₂=z₁ =>

Теорема (неравенство треугольника) пусть z₁ и z₂ – комп. числа . тогда верно неравенство z₁ -  z₂ z₁+z₂ z₁+ z₂

Опр. Аргументом компл. числа z наз-ся угол между вектором z и действительной осью. Угол отсчитывается от положительного направления оси, если отсчет идет против часовой стрелки, то угол считается положительным, если по часовой стрелке, - отрицательным.

Опр. Формула Эйлера z= 1 => z= cos + i*sin = e^i

Формула Муавра (cosj + i*sinj)ⁿ = cos(nj) + i*sin(nj)

Опр. Форма записи компл. числа z в виде z=r*e^i , где z= r, =argz наз-ся показательной формой записи компл. числа

Расширенной комплексной плоскостью наз-ся комплексная плоскость с добавленной к ней точкой z= и обозначается С=С{}

3. Односвязные и многосвязные области.

Опр. Мн-во точек D на С наз-ся областью, если 1) D – открыто(каждая точка D входит в D с некоторой своей окрестностью). 2)D-связно(всякие 2 точки из D можно соединить непрерывной кривой, лежащей в D)

Опр. Точка z наз-ся граничной точкой обл. D если в  ее окр-ти есть как точки принадлежащие этой обл. так и не принадлежащие обл. Совокупность интегр-х точек наз-ся границей D.

Опр. Замыканием обл. D наз-ся обл. D вместе с ее границей.

Опр. Граница обл.D наз-ся положительно ориентированной если при движении в этом направлении вдоль граничной кривой обл. остается слева.

Опр. Обл.D наз-ся ограниченной если сущ-ет круг k={zC: |z|<R}R>0 такой что обл. Dk.

Опр. Обл.наз-ся односвязной если всякую замкнутую кривую лежащую в обл.можно непрерывно стянуть в точку.

Опр. Обл. с разрезами это обл. с выброшенными из нее гладкими кривыми.