1. Способа разбиения отрезка на частичные отрезки 2. Способа выбора точек τк на каждом из частичных отрезков

Геометрический смысл интегральной суммы.

Инт с выражает S ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников со сторонами ∆x1 и ƒ(τ1), ∆x2 и ƒ(τ2),…, ∆xn и ƒ(τn). Обозначим через λ длину наибольшего из частичных отрезков, т.е. λ=max∆xk 1<=k<=n

Опр2! Определенным интегралом от ф-ии f(x) [a,b] наз-ся её предел интегральной сумы при условии, что наибольший из её частичных отрезков стремится к 0, а сам lim не зависит не от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, ни от способа выбора точек τк в каждом из них. При этом пишут: Sf(x) dx=lim Σ ƒ(τк)∆xk

Опр3. Если в равенстве lim существует, то ф-ия f(x) наз-ся интегрируемой на отрезке [a,b].

Замечание. Опр интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

Теорема 1. (о сущ. опр интеграла) Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], то на этом отрезке она интегрируема, т.е. для неё сущ определенный интеграл.

Теорема 2. Если ф-ия f(x) интегрируема на [a,b], то она будет интегрируема и на любом другом отрезке [c,d], который содержится в данном.

ПАРАГРАФ 2. Геометрический смысл определенного интеграла.

Если ф-ия y=f(x) непрерывна и не отрицательна на [a,b], то опр интеграл Sf(x) dx геометрически представляет собой S криволинейной трапеции- фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=a, x=b, y=0.

ПАРАГРАФ 3. Осн св-ва опр интеграла.

1. Sf(x) dx=0

2. Scf(x) dx=c Sf(x) dx, c-const

3. S[f1(x)±f2(x)] dx= Sf1(x) dx± Sf2(x) dx

4. Sf(x) dx=- Sf(x) dx

5. Sf(x) dx= Sf(x) dx+ Sf(x) dx равенство справедлива при любом расположении точек a,b,c.

6. Если ф-ия f(x) и φ(x) интегрируемы на отрезке [a,b], где a<=b и f(x)<= φ(x) ұ x ε [a,b], то Sf(x) dx<= S φ (x) dx

7. Если ф-ия f(x) четная Sf(x) dx =2 Sf(x) dx, f(x)- неч Sf(x) dx=0

Теорема 3. (о среднем значении) Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедлива след рав-ве Sf(x) dx=(в-ф)f(c) при этом f(c) наз-ся средним значением ф-ии f(x) на [a,b].

ПАРАГРАФ 4. Интеграл с переменным верхним пределом.

Опр4. Пусть ф-ия у=f(x) интегрируема на [a,b], тогда ф-ия Φ(x)= Sf(t) dt где x ε [a,b], наз-ся интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 4. Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], то интеграл с переменным верхним пределом Ф(x) будет дифференцируемой ф-ей на [a,b] причем Ф’(x)=( Sf(t) dt=f(x)) ұ x ε [a,b]

Следствие интеграл с переменным верхним пределом Ф(х)= Sf(t) dt является первообразной ф-ей для ф-ии f(x) на [a,b].

Лекция 14. Методы счисления определенного интеграла.

ПАРАГРАФ 1. Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление опр интеграла как предела сложно даже для простейших ф-ий. Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить простой способ вычисления опр интегралов линии суммирования и перехода к пределу.

Теорема 1! (Формула Ньютона-Лейбница) Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], а ф-ия F(x) есть любая первообразная для ф-ии f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Sf(x)dx=F(b)-F(a).

Замечание1. Формула НЛ устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралом.

Замечание2. Для краткости записи используют обозначения: F(x)| =F(b)-F(a), где символ | называется знаком двойной подстановки.

ПАРАГАФ 2. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема 2. Пусть: 1. ф-ия f(x) непрерывна на [a,b]. 2. ф-ия x=φ(t) непрерывно-диффер на [α,β]. 3. φ(α)=a, φ(β)=b

Тогда справедлива формула Sf(x)dx= Sf[φ(t)]φ’(t)dt

Замечание1. При вычислении опр интеграла по данной формуле можно не возвращаться к старой переменной.

Замечание2. Часто вместо замены переменной x=φ(t) используют обратную замену t=ψ(x).

ПАРАГРАФ 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 3. Пусть u=u(x) и v=v(x) непрерывно диффер ф-ии на отр [a,b], тогда справедлива формула Sudv=uv| -Svdu.

Замечание! Термин «непрерывно дифференцируемая ф-ия» означает, что сама ф-ия и её производная непрерывны.

ПАРАГРАФ 4. Приближенное вычисление определенного интеграла.

Не для всякой непрерывной ф-ии её первообразная выр через элемент ф-ии. В этом случае вычисление опр интегралов через формулу НЛ затруднительно. И поэтому применяют различные методы приближенного вычисления опр интегралов. Рассмотрим один из этих методов, а именно- метод Симпсона.

Суть метода:

1. отрезок [a,b] разбивается на четное число равных частичных отрезков точками a=x0<=x1<=x2<=…<=xn-1<=xn=b n=2m

2. В пределах первых двух отрезков [x0,x1], [x1,x2] ф-ия f(x) заменяется параболой y=ax²+bx+c. При этом коэффициенты a,b и с находятся из системы линейных уравнений:

Ax +bx+c=f(x)

Ax +bx+c=f(x)

Ax +bx+c=f(x)

3. Аналогичные параболы строятся и для других отрезков.

Сумма площадей параболических трапеций и составляет приближенное значение интеграла, т.е. Sf(x)dx≈h/3[y+y+4(y+y+…+y )+2(y+y+…+y )]. Формула Симпсона или формула парабол. Здесь: h=b-a/n - шаг разбиения отрезка [a,b], у= f(x) i=1,2,…,n, x=a+ih i=1,2,…,n- точки деления отрезка [a,b].

Замечание. Приближенная абсолютная погрешность формул Симпсона, т.е. абсолютная величина разности между точным и приближенным значением интеграла задается неравенством R <=h /180(b-a)max|f (x)|.

ПАРАГРАФ 5. Вычисление площадей плоских фигур.

1. S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-ии y=f(x) слева и справа прямыми x=a, x=b, снизу осью Ох.

2. S криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком ф-ии х=φ(x) снизу и сверху прямыми у=a, у=d, слева осью Оу. S=Sφ(y)dy.

3. S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-ии y =f (x) и снизу графиком ф-ии у=f (x), слева и справа прямыми x=a, x=b. S=S[f (x )-f (x )]dx

4. S криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком ф-ии х =φ (x), слева гр ф-ии x =φ (y), снизу и сверху прямыми у=a, у=d. S=S[φ (y)- φ (y)]dy.

5. S фигуры, ограниченной сверху кривой, заданной параметрически

x=φ(t),

y=ψ(t), t <=t<=t

S=Sψ(t)φ’(t)dt.