Лекция 12. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических и тригонометрических ф-ий.

ПАРАГРФ 1. Интегрирование иррациональных ф-ий.

Не от всякой иррациональной ф-ии интеграл выражается через элементарные ф-ии , в связи с чем мы рассмотрим лишь некоторые иррациональные ф-ии , интегралы от которых рационализируются, т.е. приводятся к интегралу от рац ф-ии и следовательно до конца интегрируются.

Виды интегралов и порядок их нахождения:

1. Интегралы вида SR(x, (ax+b), (ax+b))dx R- рациональная ф-ия, m, n, m, n- R.

Находятся с помощью подстановки ax+b=k, k- НОК чисел n, n …

2. Интегралы вида SR[x, (ax+b/ax+b), (ax+b/ax+b),…]dx R- рациональная ф-ия, m, n, m, n- R. Находятся с помощью подстановки (ax+b/ax+b)=k, k- НОК чисел n, n …

3. Интегралы вида Sdx/(ax +bx+c)^2 Находятся путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена ax +bx +c

4. Интегралы вида Sdx/(x- α) (ax +bx+c)^2 приводятся к интегралам вида Sdx/(ax +bx+c)^2 с помощью подстановки x- α=1/t

ПАРАГРАФ 2. Интегрирование тригонометрических ф-ий.

1. Интегралы вида SR(sinx, cosx)dx, где R- рациональная ф-ия. Интегралы указ вида рацион с помощью т. наз универсальной тригонометрической подстановки t=tg(x/2). В результете этой подстановки имеем sinx=2t/1+t² cosx=1-t²/1+t² x=arctgt dx=2dt/1+t²

Замечание! УТП t=tg(x/2) во многих случаях приводит к сложным вычислениям. Однако в некоторых частных случаях нахождение интегралов вида SR(sinx, cosx)dx может быть упрощено:

Случай 1. 1.SR(-sinx, cosx)dx= -SR(sinx, cosx)dx (R-нечетная ф-ия относительно sinx), то применятеся подстановка cosx=t

2. SR(sinx, -cosx)dx= -SR(sinx, cosx)dx (R-нечетная ф-ия относительно cosx) то sinx=t

3. SR(-sinx, -cosx)dx= SR(sinx, cosx)dx (R-четная ф-ия относительно sinx и cosx), то применяется подстановка tgx=t b ctgx=t

Случай 2. Интегралы вида Ssinx*cosxdx Здесь возможны два случая:

1. по крайней мере один из показателей m или n нечетное положительное число:

А)m- н.п.ч., то применяется подстановка cosx=t

Б)n- н.п.ч., то применяется подстановка sinx=t

2.Оба показателя степени четные неотрицательные числа, тогда подынтегральную ф-ию преобразуют с помощью формул sinx*cosx=1/2sin2x sin²x=1/2(1-cos2x) cos²x =1/2(1+cos2x)

Случай 3. Интегралы вида Ssinax*cosbxdx Scosax*cosbxdx Ssinax*sinbxdx Для данных интегралов применяют следующие формулы

Замечание(о «неберущихся» интегралах) Существуют элементарные ф-ии для которых первообразные эл ф-ями не являются. По этой причине соответствующие интегралы наз «неберущимися» в элементарных ф-ях, например Se dx, Ssinx²dx, Ssinx/xdx, Scosx/xdx, Sdx/lnx… Данные интегралы существуют, но они не выр-ся в элементарных ф-ях.

Лекция 13. Определенный интеграл.

ПАРАГРАФ 1. Понятие определенного интеграла.

Пусть ф-ия f(x) [a,b], выполним следующие действия: 1.Разобьем отрезок [a,b] точками a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b на n-частичных отрезков [x1,x2], [x1,x2],…,[xk-1,xk],…,[xn-1,xn]. 2. Выберем на каждом частичном отрезке [xk-1,xk] произвольную точку τk и обозначим длину каждого частичного отрезка через ∆xk: ∆xk =xk-xk-1 k=1…n 3. Вычислим произведение ƒ(τк)∆xk, k=1…n

Опр1. Интегральной суммой для ф-ии f(x) [a,b] наз-ся сумма вида σn=Σ ƒ(τк)∆xk

Замечание! Интегральная сумма зависит от: