Лекция 11. Основные методы интегрирования.

ПАРАГРАФ 1. Метод замены переменной.

Теорема 1. !!! Пусть:

1.x=φ(t) – монотонная непрерывно дифференцируемая функция от аргумента t

2.y=f(x) непрерывная функция от аргумента x, тогда справедлива формула

Sf(x) dx=Sf (φ(t)) φ’(t)dt

Формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. Иногда вместо подстановки x= φ(t) лучше использовать подстановку вида t=ψ(x)

Замечание. Вопрос о том, какова вида подстановку следует выбрать решается отдельно для каждого конкретного случая, главное чтобы в результате подстановки интеграл упростился.

Замечание. Прием подведения ф-ии под знак дифференциала является частным случаем метода замены переменной.

ПАРАГРАФ 2. Метод интегрирования по частям.

Теорема 2. ! (формула интегрирования по частям) Пусть u=u(x) и v=v(x) непрерывно дифференцируемые ф-ии, тогда справедлива формула

Sudv=uv-Svdu

Замечание!!! Формула интегрирования по частям чаще всего применяется тогда, когда интегрируемая функция равна произведению степенной функции на трансцендентную, при этом в качестве u берется такая ф-ия, которая при дифференцировании наиболее упрощается.

ПАРАГРАФ 3. Интегрирование рациональных дробей.

Опр1. Рациональной ф-ей или рац. дробью наз-ся отношение двух многочленов

Опр2. Рац. дробь наз-ся правильной, если степень многочлена в числителе ниже, чем степень многочлена в знаменателе, в противном случае дробь наз-ся неправильной.

Теорема 3. О разложении неправильной рациональной дроби.

Всякую неправильную рациональную дробь P(x)/Q(x) можно представить в виде суммы многочлена и правильной рац. дроби(путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов)

Опр3. Простейшими дробями наз-ся пр. дроби следующего вида: I. A/x-a II.A/(x-a)ⁿ, n-целое число >=2, III. Bx+C/x²+px+q где знаменатель не имеет действительных корней. IV. Bx+C/(x²+px+q) ⁿ, m-целое число >=2, знаменатель не имеет действительных корней.

Перечисленные дроби будем называть простейшими дробями I,II,III,IV типов.

Теорема 4. (о разложении прав. рац. дроби на прост) Если P(x)/Q(x) пр. рац. дробь и Q(x)= (x-a)*…* (x²+px+q)*…, где(x²+px+q) не имеет действительных корней, то справедлива формула P(x)/Q(x)= A/x-a+ A/x-a+… A/x-a+…+ Bx+C/x²+px+q+ Bx+C/x²+px+q+… Bx+C/x²+px+q+…

Замечание. Коэффициенты А , А ,…, А ,…, В , С , В , С , …, В , С тождественно в равенстве (*) находятся методом неопр коэфиц, который состоит в следующем:

1. приводим дроби в равенстве к общему знаменателю и знаменатель отбрасываем. В результате получаем тождественное равенство двух многочленов.

2. Приравниваем коэф при одинаковых степенях многочленов, тем самым получаем систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов.

Замечание! Для получения системы уравнений с неизвестными коэф можно так же в тождестве многочленов придавать различные частные значения.

Порядок интегрирования рац. дробей.

1. Если дробь непр, то её представляют в виде суммы многочлена и пр рац дроби.

2. Разлагают знаменатель пр рац дроби на множитель вида (x-a)…..

3. Пр рац дробь разлагают на сумму простейших, применяя метод неопр коэф

4. Интегрируют полученное разложение исходной дробью.