Лекция 9. Исследование функции.

ПАРАГРАФ 1. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба ф-ии.

Опр1. График дифференцируемой ф-ии у= f(x) наз-ся выпуклым(вогнутым) в [a,b], если он расположен ниже(выше) касательной, проведенной к графику ф-ии в л. (.) этого интервала.

Замечание. График ф-ии в одних интервалах может быть выпуклым, в других вогнутым.

Теорема 1. (достаточное условие выпуклости(вогнутости) графика ф-ии) Пусть ф-ия f(x) дважды дифференцируема в интервале (a,b), тогда в этом интервале график ф-ии является 1.выпуклым, если f’’(x0)<0 в (a,b) 2. вогнутым, если f’’(x0)>0в (a,b).

Опр2. Точкой перегиба графика дифференцируемой ф-ии у=f(x) наз-ся любая его точка, при переходе через которую выпуклость меняется на вогнутость и наоборот.

Замечание. Касательная в (.) перегиба разбивает график вблизи (.) перегиба на две части, лежащие по разные стороны от касательной.

Опр3. Точки, в кот вторая производная ф-ии у=f(x) равна 0 либо ∞ либо вовсе не сущ-т, наз-ся критическими (.) второго рода.

Теорема 2. (необходимое условие сущ (.) перегиба) Абсциссы точек перегиба графика ф-ии явл-ся критическими точками второго рода.

Теорема 3. Достаточное условие сущ-ия точки перегиба. Если для дважды дифференцируемой ф-ии f(x) (.) х0 является критической (.) второго рода и при переходе через эту (.) вторая производная f’’(x) меняет знак, то точка М0 (х0, f(x0)) является точкой перегиба.

ПАРАГРАФ 2. Асимптоты плоских кривых.

Опр4. Прямая L наз-ся асимптотой кривой у= f(x) если расстояние δ от переменной точки М на кривой до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к ∞).

Классификация асимптот.

1.Вертикальные 2.Горизонтальные 3.Наклонные.

Описание каждого вида асимптот:

1.Прямая х=а явл-ся вертикальной ас кривой у= f(x) если lim f(x)=∞ или lim f(x)=∞ или lim f(x)=∞.

2.Прямая у=в явл горизонтальной асимптотой кривой у= f(x), если сущ конечный предел lim f(x)=в или lim f(x)=в.

3.Прямая у=kx+b яв-ся наклонной ас кривой у=f(x), если сущ два конечных предела lim f(x)/х=в lim [f(x)-kx]=в.

Замечание! Кривая (график ф-ии у= f(x))может иметь: 1. Несколько вертикальных асимптот. 2. Не более 2х горизонтальных либо наклонных асимптот(правой и левой).

Общая схема исследования ф-ии.

1. Находим ООФ(D(y)). 2.Исследуем ф-ию на четнось, нечетность, периодичность. 3.Исследуем ф-ию на непрерывность. 4. Находим (.) пересеч графика ф-ии с осями координат Ох и Оу. 5.Находим интервалы монотонности и экстремумы ф-ии. 6.находим интервалы выпуклости, вогнутости и (.) перегиба графика ф-ии. 7.Находим асимптоты графика ф-ии. 8. На основании проведенного исследования строим график ф-ии.

Замечание 1. Иногда целесообразно намечать элементы графика параллельно с исследованием.

Замечание 2. Порядок исследования можно менять исходя из конкретных особенностей данной ф-ии.

Лекция 10. Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции.

Интегральное исчисление решает обратную задачу, а именно задачу нахождения самой функции по её производной или дифференциалу.

ПАРАГРАФ 1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Опр1:Функция F(x) наз-ся первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке F’(x)=f(x).

Замечание. Если для данной функции f(x) существует первообразная, то эта первообразная не является единственной.

Теорема 1. Если F¹(x) и F²(x) две первообразные для f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Опр2:Нелпределенным интегралом от данной функции f(x) наз-ся множество всех её первообразных. Обозначается Sf(x)dx=F(x)+C, F’(x)=f(x), C – const.

Опр3: Отыскание неопределенного интеграла от некоторой функции наз-ся интегрированием этой функции.

Замечание. (геометрический смысл неопределенного интеграла)

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых.

Теорема 2. (о существовании первообразной) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке для нее существует первообразная, а значит и неопределенный интеграл.

ПАРАГРАФ 2. Правила интегрирования.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторых функций равен этой функции + произвольная постоянная.

4. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

5. Неопределенный интеграл от суммы(разности) двух функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций.

6. Инвариантность формы неопределенного интеграла (переменной интегрирования может быть не только независимая переменная, но и функция).

ПАРАГРАФ 3. Непосредственное интегрирование.

Суть метода непосредственного интегрирования состоит в приведении подынтегрального выражения к табличному виду путем преобразований и применения свойств неопределенного интеграла

Замечание.! Свойства инвариантности формы неопределенного интеграла позволяет значительно расширить таблицу основных интегралов с помощью приемов подведения функции под знак дифференциала, т. е. преобразование данного интеграла к виду Sf(φ(x)) φ’(x)dx=Sf(u)du.