Лекция 6. Производная ф-ии.

ПАРАГРАФ 1. Производная и её геометрический смысл.

Опр1. Производная ф-ии f(x) в (.) х0 наз-ся предел отношения приращения ф-ии ∆у к приращения аргумента ∆x, когда последнее стремится к 0, т.е. у’'0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 =lim∆у/∆x или f’(x0)=lim f(x0-∆x)-f(x0)/ ∆x.

Замечание! Для обозначения производной наряду с символами Лагранжа

Используют символи Лейбница . Иногда также пишут .

Замечание: Производная есть скорость изменения ф-ии в точке.

Опр2. Ф-ия f(x) наз-ся дифференцируемой в (.) х0, если в этой точке они имеет конечную производную, а сам процесс отыскания производной наз-ся дифференцированием ф-ии.

Теорема 1. Если ф-ия дифференцируема в нек (.), то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Для одной и той же ф-ии f(x) производную можно вычислять в разл (.), поэтому производная также явл ф-ей от х.

Геометрический смысл производной.

Производная f’(x) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику ф-ии у= f(x) в (.) (х0, f(x0)). K=tgφ=f’(x0). Из геометрического смысла производной получают следующее уравнение касательной к кривой у= f(x) в (.) М0(х0,у0) у-у0=f’(x0)*(x-x0)

Теорема 3! (производная сложной ф-ии) Если у= f(u) и u=φ(x) дифференцируемые ф-ии своих аргументов, то производная сложной ф-ии у= f(φ(x)) существует и равна y’=y’ u’ или dt/dx=dy/du*du/dx.

Замечание. Теорема верна, если ф-ия состоит не из двух, а любого другого конечного числа ф-ий.

Логарифмическое дифференцирование.

Опр3. логарифмической производной ф-ии у= f(x) наз-ся производная от log этой ф-ии, т.е. (lgy)’=y’/y=f’(x)/f(x)

Пусть нам дана степенно-показ ф-ия y=u, где u=u(x), v=v(x) дифференц ф-ии от х, причем u(x)>0. Вычислим производную данной ф-ии. Логарифмируем, получим lny=ln(u ) или lny=vlnu. Продифференцируем обе части полученного равенства по х (lny)’=(vlnu)’ y’/y=v’lnu+vu’/u, отсюда y’=y(v’lnu+vu’/u) или окончательно y’=u [v’lnu+vu’/u].

Опр4. Ф-ия х=φ(у) наз-ся обратной ф-ии у= f(x) , если f(φ(у))=у или φ(f(x))=х.

Теорема 4. Если для дифференцируемой ф-ии у= f(x) сущ обратная ф-ия х=φ(у), то и производные связаны соотношением х’ =1/y’ или dx/dy=1/dy/dx.

Производная в неявной ф-ии.

Если зависимость между ф-ей у и аргументом х задана неявно уравнением F(x,y)=0, то для нахождения производной y’=y’ необходимо:

1.продифферен по х обе части ур-ия F(x,y)=0, учитывая, что у есть ф-ия от х.

2.решить полученное ур-ие относительно у’.

Лекция 7. Дифференциал ф-ии.

ПАРАГРАФ 1. понятие дифференциала ф-ии.

Опр1! Если ф-ия у= f(x) дифференцируема в (.) х, то главная часть приращения ф-ии в этой точке линейна относительно приращения аргумента, называется дифференциалом ф-ии в этой точке и обозначается символом dy или df(x).

Замечание. Термин «дифференциал» происходит от лат слова «differentia» означающего «разность».

Опр2. Дифференциал независимой переменной наз-ся приращением ∆x : dx= ∆x.

Замечание. Такое опр согласуется с тем, что дифференциал ф-ии равен ∆x : у=х => ∆у= f(x+∆x)-f(x)= x+∆x-x= ∆x.

Теорема 1! Дифференциал ф-ии у= f(x) в (.) х равен произведению её производной в этой (.) на дифференциал независимой переменной. dy=f’(x)dx(основная формула для дифференцирования).

ПАРАГРАФ 2.Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал ф-ии в (.) х равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику ф-ии в (.) М(х.у), тогда аргумент получает приращение ∆x.

ПАРАГРАФ 3. Свойство дифференциала ф-ии.

Теорема 3. (инвариантность формы дифференциала). Формула dy=y’ du справедлива независима от того, является ли аргумент U независимой переменной или функцией другого аргумента.

ПАРАГРАФ 4. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Если приращение аргумента ∆x мало по абсолютной величине, то в этом случае приращение ф-ии приближенно равно её дифференциалу, т.е. ∆у≈dy или f(x+∆x)-f(x)≈f’(x)dx отсюда, учитывая, что dx=∆x окончательно получаем: f(x+∆x)=f(x)+ f’(x)dx(формкла для приближенных вычислений).

ПАРАГРАФ 5. производные и дифференциалы высших порядков.

Опр3. Производная f’(x) наз-ся производной первого порядка. Производная от производной f’(x) наз-ся производной второго порядка или второй производной от ф-ии у= f(x) и обозначается одним из символов y’’, d² /dx², d² f(x)/dx², y’’=(y’)’ или d² /dx²=d /dx (dy/dx).

Опр4. Производной n- го порядка или n-ой производной от ф-ии у= f(x) называется производная от её производной (n-1)го порядка:

Замечание. Порядок производной в символах Лагранжа берется в скобки, чтобы его нельзя было спутать с показателем степени. Левая часть в символах Лейбница читается так «d n y по d n x».

Опр5. Производные, начиная со второй наз-ся производными высшего порядка.

Опр6. дифференциал dy наз-ся дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом ф-ии y= f(x) наз-ся дифференциал отеё первого дифференциала d² =d(dy).

Опр7. Дифференциалом n-го порядка равен произведению производной n-го порядка на n-ую степень дифференциала независимой переменной d =f (x)dx .

Замечание. Символы dx , dx,… следует понимать как степень то дифференциала

ПАРАГРАФ 6. производная ф-ий, заданных параметрически.

Теорема 5. Если зависимость между ф-ей у и аргументом х задана по средствам параметра t параметрическими уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), t0≤t≤t1, то y’ =y’ /x’ или dy/dt/dx/dt. При условии, что производные справа существуют.