Лекция 5. Непрерывность функции.

ПАРАГРАФ 1. Понятие непрерывности ф-ии.

Опр1. Ф-ия у=f(x) наз-ся непрерывной в (.) х0 если: 1. она определена в нек окр (.) а. 2. сущ limf(x). 3. limf(x)=f(x0)

Замечание! Поскольку limf(x)=f(x0), то условие3 в опр1 можно записать в виде limf(x)=f(limx), т.е. для непрер ф-ий символы lim и f можно переставлять местами.

Опр2. Пусть ф-ия у=f(x) определена на промежутке Х и (.) х, х0 Х, тогда разность ∆х=х-х0 наз-ся приращением аргумента в (.) х0, а разность ∆у=f(x)-f(x0)=f(x0-∆x)-f(x0) наз-ся приращением ф-ии в (.) х0.

Опр3.(эквивалентное опр непрерывности) Ф-ия у=f(x) наз-ся непрерывной в (.) х0 если: 1. она определена в нек окр (.) а. 2. БМ приращ аргумента соответствует БМ приращение ф-ии, т.е. lim∆y=0

Свойство ф-ий, непрерывных в точке.

Теорема 1. Если ф-ии f(x) и φ(x) непрерыв в (.) х0, то в этой точке будут непрерыв и ф-ии f(x) ±и φ(x), f(x)*φ(x), f(x)/φ(x) (φ(x)≠0).

Теорема 2. (о непрерыв сложной ф-ии) Если ф-ия u= φ(x) непрерывна в (.) х0, а ф-ия у=f(x) непрерывна в (.) u0= φ(x0), то сложн ф-ия у=f[φ(x)] непрерывна в (.) х0.

Опр4. Ф-ия у=f(x) наз. непрерывной на пром Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства ф-ии, непрерывной на отрезке.

Теорема 3. (об ограниченности ф-ии) Если ф-ия f(x) непрерывна на отр АВ f(x)=[a,b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. с ч М>0 : |f(x) |≤М ұx [a,b].

Теорема 4. (о наибольшем и наименьшем значении) если ф-ия f(x) неперерывна на отрезке [а, в], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и своего наименьшего значений, т.е. сущ (.) х1, х2 [a,b] : f(x1)≤f(x)≤f(x2)

Теорема 5. (о переходе через 0) Если f(x) непрерывна на [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка обязательно найдется хотя бы одна (.) с : f(с)=0.

Теорема 6. (о промежуточном значении) Если f(x)= [a,b] и на его концах принимает не равные значения f(a)≠f(b), то каково бы ни было С, заключенное между значениями f(a) и f(b) найдется (.) с [a,b]: f(c)=C.

Теорема 7. Все элементарные ф-ии непрерывны в области их определения.

Замечание Элементарные ф-ии: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические(осн Эл ф-ии). А так же ф-ии, построенные из них с помощью конечного числа арифм операций и конечного числа операций образования сложной ф-ии.

Точки разрыва ф-ии.

Опр5. (.) х0 наз-ся точкой разрыва ф-ии f(x), если эта ф-ия в данной точке не является непрерывной.

Опр6. Если (.) х0 явл-ся (.) разрыва ф-ии f(x) и в этой (.) сущ-т конечные односторонние пределы f(x0-0) f(х0+0), то (.) х0 наз-ся точкой разрыва первого рода.

(.) разрыва I рода делятся на:

1. (.) устранимого разрыва, если левый предел точки совпадает с правым.

2. Точки скачка, если f(x0-0)≠f(х0+0), при этом f(x0-0)-f(х0+0) наз-ся скачком ф-ии в (.) х0.

Опр1. (.) разрыва х0 наз-ся точкой разрыва II рода, если в этой (.) точке хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ либо вовсе не сущ.

Теорема 8! Ф-ия f(x) непрерывна в (.) х0  f(x0)=f(x0-0)=f(х0+0)