Лекция 2. Числовая последовательность.

ПАРАГРАФ 1. Понятие числовой последовательности.

Опр1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел (1, 2, 3,…,n) поставлено в соответствие действительное число xn, то множество действительных чисел х1, х2,…,хn называются числовой последовательностью или просто последовательностью. При этом х1, х2,…,хn называются элементами (последовательностью). Символ Хn общим элементом(общим членом), n-номер общего элемента. Последовательность обозначают символом {xn}.

Замечание. Любая числовая последовательность содержит бесконечное множество элементов, среди которых могут быть равные.

Опр2. Последовательность {xn} называется ограниченной, если сущ-т число М>0

, такое что для любого n выполняется нер-во |xn|<Mn.

Опр3. Последовательность {xn} наз-ся неограниченной, если для любого M>0 сущ-т n такое, что |xn|>Mn.

Опр4. Последовательность {xn} называется возрастающей (неубывающей), если xn≤xn+1 для любого n, строговозрастающей xn<xn+1, убывающей (невозрастающей) xn ≥xn+1, строгоубывающей xn>xn+1, монотонной, ели она возрастающая или убывающая.

ПАРАГРАФ 2. предел числовой последовательности.

Опр5. Интервал (а-ε,а+ε)= {x| |х-а|<ε}, где ε>0 называется εокрестостью точки а.

Опр6. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует N, зависящее от ε, ткое, что для любого n>N выполняется неравенство |xn-a|<ε. При этом пишут limxn=a bkb xn→a при n→∞.

Опр7. Если последовательность {xn} имеет предел, то она наз-ся сходящейся, а еси не имеет, то расходящейся.

Замечание! Последовательность может иметь только один предел.

Геометрический смысл предела последовательности.

Геометрическое место точек Х, удовлетворяющее нер-ву |х-а|<ε, если интервал (а-ε,а+ε), т.е. ε- окрестность (.) а=> выполнение нер-ва |хn-а|<ε для л n>N геометрически означает, что все элементы последовательности {xn}, начиная с элемента xn+1 будут находиться в пределах ε- окрестности (.) а.

Замечание! Если ε уменьшается, то ε- окрестность (а-ε,а+ε) сужается, а значит числоn увеличивается, поэтому для всевозможных значений ε нельзя указать единственное число N. Оно зависит от конкретного значенияε, поэтому пишут N=N(ε).

Опр8. Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее данное число х, обозначают {x}.

Свойство целой части числа. [x]+1>x

ПАРАГРАФ 3. Теоремы о пределах числовой последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Монотонная и ограниченная последовательности имеют предел.

Теорема 3. Если limxn=a, limyn=b и xn ≤yn для л n, то a ≤b.

Теорема 4. Если limxn=a, Limyn=a и xn ≤zn ≤yn для л n, то limzn=a.

Теорема 5. Пусть limxn=a, limyn=b, тогда 1.Lim(xn±yn)=a±b 2. lim(xn*yn)=ab

3. lim(xn/yn)=a/b, b≠0.

Опр9. Числом е наз-ся lim(1+1/n)ⁿ=e. Замечание. Число е – иррациональное и ≈2.71828.

Опр10. Логарифмы с основанием е наз-ся натуральными и обозначаются logx=lnx.

Лекция 3. Функция.

ПАРАГРАФ 1. Понятие функции.

Опр1. Постоянной величиной наз-ся величина, сохраняющая одно и то же значение.

Опр2. Переменной величиной или просто переменной наз-ся величина, которая может принимать различные числовые значения.

Опр3. Пусть Х и У некоторые числовые множества, если каждому элементу х Х поставлен в соответствие единственный элемент у У, то говорят, что на множестве Х задана функция у=f(x), при этом х наз-ся независимой переменной или аргументом, у- зависимой переменной, а f – обозначает закон соответствия.

Замечание. Для ф-ии так же используют и другие обозначения: у=F(x), у=φ(х), у=у(х) и т.д.

Опр4. Пусть на множестве Х задана ф-ия у=f(x), тогда мн-во Х наз-ся областью определения или областью существования ф-ии у=f(x) и обозначается символом D(f) или D(y), при этом мн-во Е(f)={f(x)|x D(f)} наз-ся областью значений ф-ии.

Замечание! Если мн-во Х специально не оговорено, то под ООФ подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, то есть мн-во таких значений х, при которых ф-ия у=f(x) вообще имеет смысл.

Опр5. Значение ф-ии y=f(x) при х=а а D(f) наз-ся частным значением ф-ии и обозначается f(a).

Опр6. Графиком ф-ии y=f(x) наз-ся множество точек (х,у) плоскости, абсциссой которых есть значение аргумента, а ординаты-соответствующие им значения ф-ии

ПАРАГРАФ 2. Способы задания ф-ии.

Существует несколько способов задания ф-ии:

1. аналитический способ состоит в том, что ф-ия задается формудой вида y=f(x). Этот способ чаще всего встречается на практике.

2. Табличный способ. Состоит в том, что ф-ия задается таблицей, содержащей значение аргумента и соответствующее значение ф-ии.

3. Графический способ состоит в том, что соответствие между аргументом и ф-ией устанавливается с помощью графика.

ПАРАГРАФ 3. Основные свойства функции.

Опр7. Ф-ия y=f(x) наз-ся четной, если f(x)=f(-x) для л х D(f), нечетной, если f(-x)=- f(x) для л х D(f).

Опр8. Ф-ия y=f(x) наз-ся периодической с периодом Т≠0, если f(x+t)=f(x).

Опр9. Ф-ия y=f(x) наз-ся возрастающей(убывающей) на пром-ке Х, если на этом пр-ке большему значению аргументу соответствует большее(м) значение ф-ии.

Опр10. Ф-ии, возрастающие и убывающие наз-ся монотонными ф-ми.

Опр11. Ф-ия y=f(x) наз-ся ограниченной на пр Х, если сущ число М>0 : |f(x)|≤M для л х Х.

ПАРАГРАФ 4. Классификация ф-ий.

Опр12. Ф-ия y=f(x) наз-ся явной, если она задана формулой, в кот правая часть не содержит зависимой переменной.

Опр13. Ф-ия у от аргумента х наз-ся неявной, если она задана ур-ем F(x,y)=0 не разрешенным относительно зависимой переменной.

Опр14. Ф-ия у от аргумента х, заданная посредством цепи из двух ф-ий y=f(u), u=φ(x) наз-ся ф-ей от ф-ии или сложной ф-ей и записывается сл образом y=f[φ(x)]. Переменная u при этом наз-ся промежуточной переменной.

Лекция 4. Предел функции.

ПАРАГРАФ 1. Понятие предела ф-ии.

Опр1! Число А наз-ся пределом ф-ии f(x) при x→a или в (.) а , если для любого числа ε>0 сущ число δ>0 : для всех х удовл усл 0<|x-a|<δ (1) выполняется нер-во |f(x)-A|<ε (2). При этом пишут: limf(x)=A или f(x)→A при x→a.

Замечание! С помощью логич символов данное определение имеет вид Limf(x)=A  ұε>0 сущ δ>0 : ұx : 0<|x-a|<δ =>|f(x)-A|<ε.

Геометрический смысл предела функции.

Неравенство (1) означает, что (.) х≠а и х (а-δ,а+δ), т.е.δ окрестности (.) а на оси Ох. Неравенство (2) означает, что соответствующие значения ф-ии f(x) (A-ε,A+ε), т.е. ε-окрестности точки А на оси Оу. Следовательно, точки Р графика ф-ии у=f(x) лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А-ε и у=А+ε для люб х (а-δ,а+δ), х≠а.

Замечание! Для сущ предела ф-ии f(x) в (.) а не требуется, чтобы ф-ия была определена в самой точке а.

Опр2. Число А наз-ся пределом ф-ии f(x) при х→∞, если ұ ε>0 сущ М>0: ұ х удовл усл |x|>M => вып нер-во |f(x)-A|<ε, при этом пишут limf(x)=a.

Замечание. Геометрически данное опр-е означает, что график ф-ии у=f(x) начиная с некоторого места будет челиком лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А-ε и у=А+ε.

Односторонние пределы ф-ии.

Иногда приходится рассматривать вопрос о пределе ф-ии f(x) когда х может принимать не все значения, достаточные близкие к (.) а, а только большему, чем а, или только меньшие, чем а. Если x<a и x→a, то пишут х→а-0(слева). Если x>a и x→a, то пишут х→а+0(справа).

Опр3.Если сущ числа f(a-0)=limf(x) и f(a+0)=limf(x), то они наз-ся соответственно левым и правым пределом либо пределом слева и пределом справа ф-и f(x) в (.) а.

Теорема 1! Число А является пределом ф-ии f(x) в (.) х=а в этой (.) сущ, равны между собой и числу А односторонние пределы: limf(x)=A  limf(x)=limf(x)=A.

Следствие. Если в (.) а ф-ия имеет различные односторонние пределы или хотя бы один из них не сущ-т, то не сущ-т и предел ф-ии в (.) а.

ПАРАГРАФ 2. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-ии.

Опр4. Ф-ия α(ч) наз-ся бесконечно малой(БМ) при х→а(или х→∞) если limα(x)=0(limα(x)=0)

Замечание: БМ ф-ию также называют БМ величиной или БМ.

Св-ва БМ:

1.∑ конечного числа БМ есть БМ.

2.Произведение -||-||-.

3. Произведение БМ на ограниченную ф-ию есть БМ.

Опр5. Ф-ия у=f(x) наз-ся бесконечно большой(ББ) при х→а, если для любого числа ε>0 с ч δ>0 :ұx 0<|x-a|<δ | выполн нер-во f(x)|>ε. При этом пишутlimf(x)=∞

Опр6. Ф-ия у=f(x) наз-ся бесконечно большой(ББ) при х→∞, если для любого числа ε>0 с ч М>0 :ұx |x |<М выполн нер-во f(x)|>ε. При этом пишутlimf(x)=∞

Теорема 2. Если ф-ия α(ч) есть БМ при х→а, то ф-ия 1/α(х) будет явл-ся ББ при х→а и наоборот.

Свойства ББ.

1.∑ двух ББ ф-ий есть ББ ф-ия.

2.∑ББ и ограничен ф-ии есть ББ ф-ия.

3. Произведение двух ББ ф-ий есть ББ ф-ия.

Замечательные пределы.

1. limsinx/x=1 первый замечательный предел.

2. lim(1+1/x) =e или lim(1+x) =e второй замечательный предел.

ПАРАГРАФ 3. Основные теоремы о пределах.

Теорема 3. Ф-ия f(x) не может иметь более одного предела при х→а.

Теорема 4. Если сущ(конечные) пределы limf(x)=A, limφ(x)=B, то 1. lim [f(x)± φ(x)]=A±B 2. lim [f(x) φ(x)]=AB 3. lim [f(x)/ φ(x)]=A/B, B≠0.

Теорема 5. Если limf(x)=A, limφ(x)=B и f(x)≤ φ(x) в нек окрестности а, то А≤В.

Теорема 6. Пусть в нек окрестности (.) а выполн нер-во φ(x)≤f(x)≤g(x) и при этом limg(x)= limφ(x)=A, тогда limf(x)=A.

Теорема 7. Ф-ия f(x) имеющая предел в (.) а явл ограниченной в нек окрест (.) а.