§ 9. Закон двойственности

Пусть формула А содержит только операции конъ­юнкции, дизъюнкции и отрицания.

Будем называть операцию конъюнкции двойствен­ной операции дизъюнкции, а операцию дизъюнкции двойственной операции конъюнкции.

Определение. Формулы А и А* называются двой­ственными, если формула А* получается из формулы А путем замены в ней каждой операции на двойственную.

Например, для формулы A (x y)&z двойственной формулой будет формула А* (х&у) z.

Теорема. Если формулы А и В равносильны, то равносильны и им двойственные формулы, то есть А* В*.

Предварительно докажем лемму.

Лемма. Если для формулы А(х₁,х₂,...х_п) двойствен­ной формулой является А *(х₁,х₂,...х_п), то справедлива равносильность

A*( ₁, ₂,... _п).

Доказательство. Для элементарной формулы утвер­ждение леммы очевидно. Действительно, если A(x₁) x₁,

то A*(x₁) x₁, (x₁) , А*( ) и .

Пусть теперь утверждение леммы справедливо для всяких формул, содержащих не более k операций. Дока­жем, что при этом предположении утверждение справед­ливо и для формулы, содержащей k + 1 операцию.

Пусть формула A(x₁,x₂,...x_n) содержит k + 1 опера­цию. Тогда ее можно представить в одном из трех видов:

1) А(х₁,х₂,...х_п) ,

2) А(х₁,х₂,...х_п) А₁(х₁,х₂,...х_п) А₂(х₁,х₂,...х_п),

3) А(х₁,х₂,...х_п) А₁(х₁,х₂,...х_п)&А₂(х₁,х₂,...х_п),

где формулы А₁(х₁,х₂,...х_п) и А₂(х₁,х₂,...х_п) содержат не более k операций, и, следовательно, для них утверж­дение справедливо, то есть

( ₁, ₂,… _п),

( ₁, ₂,… _п).

В случае 1) имеем А* а поэтому

В случае 2) имеем , а поэтому

Аналогичное доказательство проводится и в случае 3). Докажем теперь закон двойственности.

Пусть формулы А(х₁,х₂,...х_п) и B(х₁,х₂,...х_п) равно­сильны:

А(х₁,х₂,...х_п) B(х₁,х₂,...х_п) .

Но тогда, очевидно,

В то же время, согласно лемме,

Из равносильностей (1) и (2) получаем

,

и, следовательно,

А^*(х₁,х₂,...х_п) и B^*(х₁,х₂,...х_п)

§ 10. Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (днф и сднф)

Определение 1. Элементарной конъюнкцией п пере­менных называется конъюнкция переменных или их от­рицаний.

Элементарная конъюнкция п переменных может быть

записана в виде: ,

Определение 2. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А называется равносильная ей форму­ла, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.

Для любой формулы алгебры логики путем равно­сильных преобразований можно получить ее ДНФ, при­чем не единственную.

Например, для формулы А х&(х y) имеем:

, то есть

ДНФ А (х& ) (х& у),

ДНФ А х&у.

Среди многочисленных ДНФ А существует единствен­ная ДНФ А, для которой выполняются перечисленные выше четыре свойства совершенства (свойства (С)).

Такая ДНФ А называется совершенной дизъюнктив­ной нормальной формой формулы А (СДНФ А).

Как уже указывалось, СДНФ А может быть получе­на с помощью таблицы истинности.

Другой способ получения СДНФ формулы А основан на равносильных преобразованиях формулы и состоит в следующем:

1. Путем равносильных преобразований формулы А получают одну из ДНФ А.

2. Если в полученной ДНФ А входящая в нее эле­ментарная конъюнкция В не содержит переменную x_i, то, используя равносильность B&(x_i ) В , элемен­тарную конъюнкцию В заменяют на две элементарных конъюнкции (В& x_i) и (В& ), каждая из которых со­держит переменную x_i.

3. Если в ДНФ А входят две одинаковых элементар­ных конъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользу­ясь равносильностью В В В.

4. Если некоторая элементарная конъюнкция В, вхо­дящая в ДНФ А, содержит переменную x_i и ее отрица­ние , то В 0, и В можно исключить из ДНФ А, как нулевой член дизъюнкции.

5. Если некоторая элементарная конъюнкция, вхо­дящая в ДНФ А, содержит переменную x_i дважды, то одну переменную можно отбросить, пользуясь равносиль­ностью x_i&x_i x_i.

Ясно, что после выполнения описанной процедуры будет получена СДНФ А .

Например, для формулы А х y& (x ) ДНФ .

Так как элементарная конъюнкция В х , входящая в ДНФ А, не содержит переменной у, то, пользуясь равносильностью , заменим ее на две элементарных конъюнкции х&у и х& .

В результате получим ДНФ .

Так как теперь ДНФ А содержит две одинаковых элементарных конъюнкции х& у, то лишнюю отбросим, пользуясь равносильностью x& у x& у х& у. В резуль­тате получим ДНФ А .

Так как элементарная конъюнкция у& содержит переменную y и ее отрицание , то, и , и ее можно отбросить как нулевой член дизъюнкции.

Таким образом, получаем

СДНФ А х&у х& .