41. Расстояние между двумя точками.
Расстояние d между
двумя точками 
(
, 
, 
)
и 
(
, 
, 
)
в пространстве определяется формулой:
.
42. Деление отрезка в данном отношении.
Координаты x,
y, z точки
М, которая делит отрезок 
,
ограниченный точками
(
,
,
)
и
(
,
,
),
в отношении
,
определяется по формулам:
, 
, 
.
В
частности, при 
имеет
координаты середины данного отрезка:
, 
, 
.
43. Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение линии на плоскости — это уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами. Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению. Уравнения линии могут быть самыми различными, но не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде линии.
Примеры:
Уравнение окружности: (x — xо)2 + (y — yо)2 = r2
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = k·x + b
Взаимное расположение двух линий
Для того чтобы определить взаимное расположение двух линий, надо знать уравнения этих линий. Если система этих уравнений имеет решения, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений.
Линии первого порядка (алгебраические линии первого порядка – это прямые линии. Рассматриваются задачи: через заданную на плоскости точку М прямую с угловым коэффициентом k; провести прямую через две заданные точки А и В; найти угол между прямыми через угловые коэффициенты этих прямых; условие параллельности и условие перпендикулярности двух прямых).
Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.
Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол поворота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.
рис.1.
Из определения следует,
что угол наклона 
прямой
L к оси Ох может изменяться от нуля
до 
: 
.
Если прямая 
,
то 
.
Пусть
(1)
– общее
уравнение прямой L, где 
–
нормальный вектор прямой L и 
.
Тогда 
и 
(см.
рис.1). Выразим у из уравнения (1)
.
, 
.
Уравнение прямой L принимает вид:
.
Определение. Уравнение прямой вида
(2)
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.
Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом
угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:
.
(3)
Доказательство.
1) Если прямая
,
то
и 
.
С другой стороны, ее нормальный
вектор 
и 
.
Тогда 
и,
следовательно,
,
ч.т.д.
2)
Пусть 
,
тогда 
, 
и 
.
Пусть F – точка пересечения прямой L
с осью абсцисс.
Тогда
, 
.
Опишем
окружность единичного радиуса с центром
в точке F , а в точке оси Ох с
координатой 
проведем
касательную m к этой окружности. См.
рис.2.
рис.2.
Выберем
положительное направление на прямой
m, так, чтобы 
.
Тогда ось m является осью тангенсов
для данной единичной (тригонометрической)
окружности.
Пусть
Р – точка пересечения прямой L
с осью тангенсов
m. Тогда, с одной стороны, 
,
где
– угол наклона
прямой L к оси Ох, а, с другой стороны,
точка 
и 
,
откуда и следует равенство 
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Заметим,
что приведенное доказательство
принадлежит автору этих лекций.
Достоинством этого доказательства
является то, что оно не зависит ни от
величины угла наклона 
,
ни от величины коэффициента 
.
В заключение отметим, что коэффициент b в уравнении (2) равен величине отрезка, отсекаемого прямой от оси ординат (см. рис.2).