Односторонний предел по Коши

• Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .

• Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число  , такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .^[1]

Дифференцируемость функции и дифференциал

Пусть функция   задана в некоторой области   , и    -- внутренняя точка этой области. Пусть    -- произвольная точка этой же области   . Разность   называется приращением аргумента   ;   , где   . Разность значений функции   называется приращением, или полным приращением функции   в точке   , соответствующим приращению аргумента   ;    -- это функция от точки   и приращения   .

Предположим, что приращение функции можно представить в виде

(7.2)

где    -- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от   , но могут измениться, если сменить точку   . Относительно величины   мы предположим, что это функция, при базе   являющаяся величиной большего порядка малости, чем   . Это означает, если вспомнить определение бесконечно малой величины большего порядка малости относительно другой бесконечно малой, что

Заметим, что сумма всех слагаемых левой части (7.2), кроме последнего, -- это линейная функция от приращения аргумента   , если точка   фиксирована. Условие большей малости последнего слагаемого (7.2) относительно   означает, что эта линейная функция -- главная часть приращения функции.

        Определение 7.11   Если указанное представление (7.2) имеет место, то функцию   называют дифференцируемой в точке   , а линейную относительно   функцию

то есть главную линейную часть приращения функции, -- дифференциалом функции   в точке   .

Если функция   является дифференцируемой в любой точке открытой области   , то функцию   называют дифференцируемой в области   .     

Таким образом, приращение   дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала   , то есть линейной части приращения, и остатка   , который имеет более высокий порядок малости, чем приращение   :

        Теорема 7.8   Дифференцируемая в точке   функция является непрерывной в этой точке.

        Доказательство.     Действительно, если   , то стремятся к 0 все слагаемые дифференциала: они имеют вид   ; множитель   не зависит от   , то есть постоянен, а  , поскольку   Величина   также стремится к 0, так как имеет даже больший порядок малости, чем   . Значит,   . Но условие   как раз и означает, что   при   , то есть что функция   непрерывна в точке   .  

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов  называется скачком функции.

Дифференциалы высших порядков

Пусть в интервале (a, b) задана дважды дифференцируемая функция y = f(x), где x — независимая переменная.

Фиксируем приращение dx = Δx независимой переменной x, т.е. будем считать первый дифференциал

 

dy = f'(x) dx

(1)

 

функцией только переменной x.

Дифференциал от первого дифференциала, при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом функции f(x) в точке x и обозначается d² f(x).

Дифференцируем выражение в правой части (1) как произведение

 

d2 f(x) = d (df(x) ) = d (f'(x) dx) = f''(x) dx · dx + f'(x) · d(dx) .