Билет № 23

1. Системы линейных алгебраических уравнений.

2. Взаимное расположение прямых в пространстве.

3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.

1) Система линейных алгебраических уравнений с неизвестными — это система уравнений вида Матрица коэффициентов системы; столбец неизвестных Х(х1 х2 х_n); В(b1 b2 b_n) столбец свободных членов

2) Взаимное расположение прямых

y=k₁x+b₁ y= k₂x+b₂

k1=k2-параллельны, k1k2=-1-перпендикулярны

={А₁, В₁} ={А₂, В₂}

-параллельны прямые (прямые не совпадают и не пересекаются)

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых

Билет № 24

1. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

2. Касательная и нормаль к плоской кривой.

3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.

1) Пусть дана система линейных уравнений

Если ввести матричные обозначения

то систему можно записать матричным уравнением Решение системы матричным методом определяется соотношением

2)Из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен значению производной в этой точке, т. е. касательной к кривой в точке имеет вид

Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку М перпендикулярно касательной к кривой в этой точке. В силу условия перпендикулярности двух прямых уравнение нормали имеет вид

Билет № 25

1. Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.

2. Вычисление площадей при помощи определённого интеграла.

3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.

1) Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

по формулам Крамера имеет вид

Где основной и дополнительные определители системы.

— система совместна, имеет единственное решение;

— система несовместна, не имеет решения;

— система неопределенна, т. е. имеет бесчисленное множество решений (система сводится к одному уравнению).

Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера решению

Системы координат на плоскости и в пространстве

Системы координат на плоскости       Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1) 

     О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат,   - базисные векторы,   - абсцисса точки M (  - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy),   - ордината точки M (  - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).

Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.2)

     О - начало координат,   - оси координат,  ,   - координаты точки M (  - проекция точки M на ось   параллельно оси  , аналогично  ),   - базисные векторы.

Полярные координаты (

     О - полюс, Ox - полярная ось,   - полярный радиус,   - полярный угол.

     Главные значения   и  :   (иногда  ).

    Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные 

     Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные 

Условия коллинеарности и компланарности векторов.

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости

Свойства компланарности

Пусть   — векторы пространства  . Тогда верны следующие утверждения:

• Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

• Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

• Смешанное произведение компланарных векторов  . Это — критерий компланарности трёх векторов.

• Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.

• Существуют действительные числа   такие, что   для компланарных  , за исключением случаев   или  . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.

• В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора   образуют базис. То есть любой вектор   можно представить в виде:  . Тогда   будут координатами   в данном базисе.