Билет № 5

1. Уравнение плоскости «в отрезках на осях».

2. Таблица основных производных.

3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.

1) уравнение плоскости в отрезках на осях где отрезки, которые отсекает плоскость на координатных осях

2) таблица основных производных:

Билет № 6

1. Общее уравнение плоскости в пространстве.

2. Вычисление пределов по правилу Лопиталя.

3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.

1) Общее уравнение плоскости. Всякая плоскость определяется уравнением первой степени с тремя неизвестными А, В, С не равны 0

2) Если при функции одновременно стремятся к нулю или , то предел их отношения равен пределу отношения их производных, т. е. При этом предполагается, что существуют и конечны.

Если же отношение производных также будет представлять случай или , можно снова и снова применять правило Лопиталя.

Билет № 7

1. Парабола.

2. Определённый интеграл, его основные свойства.

3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.

1) Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой ее фокусом и от данной прямой, называемой ее директрисой. Каноническое уравнение параболы имеет вид где р— параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы.

эксцентриситет любой параболы равен единице

Общее уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси ординат, имеет вид

Билет № 8

1. Гипербола.

2. Необходимое и достаточное условия экстремума функции.

3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.

1) Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

где а—действительная полуось; b — мнимая полуось гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния гиперболы с к ее действительной оси, то есть

Уравнения директрис

Если полуоси гиперболы равны, то гипербола называется равносторонней и ее уравнение имеет вид Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к своим

асимптотам, как к осям координат, имеет вид

2) Необходимое условие экстремума). Если функция y =f(x) в точке х₀ имеет экстремум, то производная f^/( x ₀ ) равна нулю.

Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.

Стационарная точка необязательно является точкой экстремума функции.

Точка в которой производная функции равна 0 или не существует, называется критической точкой.

Достаточное условие экстремума).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a , b], а точка x₀ из этого отрезка является критической. Тогда:

1) если f^/(x) < 0 на (a;x₀) и f^/(x) > 0 на (x₀;b), то точка x₀–точка минимума функции f(x);

2) если f^/(x) > 0 на (a;x₀) и f^/(x) < 0 на (x₀;b), то точка x₀–точка максимума функции f(x).

Билет № 9

1. Эллипс.

2. Основная формула интегрального исчисления (Ньютона – Лейбница).

3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.

1) Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная

Каноническое уравнение эллипса имеет вид где — большая и малая полуоси эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния эллипса с к его большой оси

Директрисами эллипса называются прямые параллельные его малой оси и отстоящие от нее на расстоянии

Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса

Фокальные радиусы некоторой точки М могут быть найдены по формулам