Вопрос №1.

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа (a – действительная часть; b – мнимая часть), i – специальное число, которое называется мнимой единицей.

Операции с комплексными числами:

Сложение. Суммой комплексных чисел a₁ + b₁i и a₂ + b₂i называется комплексное число (a₁ + a₂) + (b₁+ b₂) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a₁+ b₁i и a₂+ b₂i называется комплексное число (a₁ – a₂) + (b₁ – b₂) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a₁ + b₁i и a₂ + b₂i называется комплексное число: (a₁ a₂ – b₁ b₂ ) + (a₁ b₂ + b₁ a₂ ) i . Комплексные числа перемножаются как алгебраические двучлены.

Основное свойство мнимой единицы:

i² = –1

Деление.

Представление комплексного числа на плоскости:

Вопрос №2.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.

Модуль комплексного числа a + bi обозначается как |z| или |a + bi| и равен корню из суммы квадратов a и b.

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором z, изображающим это комплексное число. Отсюда, tg = b/a.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль |z| и аргумент :

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

Вопрос №3.

Формула Муавра.

k = 0, 1, 2,…, n – 1.

Вопрос №4

Формула Эйлера

Показательной функцией с мнимым показателем степени называется комплексная функция

Где параметр t может принимать любые действительные значения

Вопрос № 5

Основная теорема высшей алгебры утверждает что всякое алгебраическое уравнение n>0 имеет хотя бы один корень , действительный или комплексный.

Вопрос № 6 Определение линейного пространства.

Определение. Множество ¥(фи) мы назовем линейным пространством, а его элементы -векторами, если:

а) Задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам x и y из ¥ сопоставляется элемент, называется их суммой и обозначаемый х+у

б) Задан закон (операция умножения на число), по которому элементу х из ¥ и числу а сопоставляется элемент из ¥, называемый произведением х на а и обозначаемый ах.

в) Для любых элементов х,у,z из ¥ и любых чисел а и в выполнены следующие требования (или аксиомы):

1) х+у=у+х

2)(х+у)+z=x+(y+z)

3) Существует элемент о такой, что для каждого х из ¥ выполнено равенство х+о=х

4) Для каждого х существует элемент –х такой, что х+(-х)=0

5) а(х+у)=ах+ау.

6) (а+в)х=ах+вх.

7) а(вх)=(ав)х.

8) 1х=х.

Если в п.б) используем только вещественные то ¥ называется вещественным линейным пространством. Если же определено умножение на любое комплексное число, то линейное пространство ¥ называется комплексным .

Вопрос №7.

Линейная зависимость и независимость векторов

Набор векторов   называется системой векторов.

Система из   векторов   называется линейно зависимой, если существуют такие числа  , не все равные нулю одновременно, что

(1.1)

Система из   векторов   называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при  , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.

Замечания 1.2

1. Один вектор   тоже образует систему: при   — линейно зависимую, а при   — линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора  , то она линейно зависима.

4. Система из   векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов   линейно независима, а после присоединения к ней вектора   оказывается линейно зависимой, то вектор   можно разложить по векторам  , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Пример 1.3. Параллелограмм   построен на векторах   и  ; точки   и   — середины сторон   и   соответственно (рис. 1.11).

Требуется:

а) найти линейные комбинации векторов

б) доказать, что векторы  , ,  линейно зависимы.

Решение.

а) Так как  , то по правилу треугольника: .

Рассуждая аналогично, получаем: . Построим вектор  . Из равенства треугольников   и   следует, что  . Тогда .

б) Учитывая, что   и  , получаем:  .

Перенося векторы в левую часть, приходим к равенству   , т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов  , ,  равна нулевому вектору. Следовательно, векторы  , ,  линейно зависимы, что и требовалось доказать.

Вопрос №8.

Базис пространства  . Координаты вектора 

     Базис - любая упорядоченная система   из n линейно независимых векторов пространства  .

     Обозначение: 

     Для каждого вектора   существуют числа   такие что

     Числа   называются координатами вектора   в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора   в этом базисе. Употребляется запись: 

     

Справедливы формулы:

Вопрос №9.

Размерность линейного пространства.

Число k называется  размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — линейно зависима.

Обозначается dimL = k. Пространство L называется k- мерным. Иногда обозначается L_k.

Векторы i и j — линейно независимая система векторов линейного пространства геометрических радиусов-векторов плоскости R₂ .

Рассмотрим произвольную систему из трёх векторов x, y, z .

На рисунке показано, что вектор z линейно выражается через векторы x и y: z = α₁·x + α₂·y.

Итак, в пространстве R₂ существует система из двух линейно независимых векторов ( i , j), а любые три вектора образуют линейно зависимую систему. То есть размерность пространства R₂ равна 2, dim R₂ = 2.

Вопрос 10

 Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в   -мерном линейном пространстве   выбран базис   , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис   , который мы будем называть "новый". Возьмем произвольный вектор   из   . Его координатный столбец в старом базисе обозначим   , а в новом --   . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

        Замечание 18.1   Матрица перехода всегда невырождена, то есть   .         

        Предложение 18.5   Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой

(18.1)

где справа стоит произведение матрицы перехода   на матрицу-столбец.

        Доказательство.     Так как    -- координатный столбец вектора   в новом базисе, то

Заменив векторы   их разложениями по старому базису, получим

В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

Здесь мы получили разложение вектора   по старому базису, причем координата вектора с номером   равна   . Элемент с номером   столбца   будет иметь такой же вид. Следовательно, формула  (18.1) доказана.      

        Пример 18.4   Пусть   , то есть    -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис

Возьмем вектор   . Найдем его координаты в новом базисе.

Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов

Пусть    -- координатный столбец вектора   в новом базисе. Тогда

(18.2)

откуда

Найдем матрицу   по формуле (14.14). Находим определитель

Находим алгебраические дополнения

Следовательно,

Находим координаты вектора

Таким образом, новые координаты вектора   :   ,   ,   ,   .

Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений

Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты   ,   ,   .

Вопрос 11

Определение и примеры

Рассмотрим линейное пространство   и преобразование   этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору   из  соответствует вектор   из того же пространства. Вектор   называетсяобразом вектора   и обозначается   , а вектор   называется прообразом вектора   .

        Определение 19.1   Преобразование   линейного пространства  называется линейным, если для любых векторов   и   и любого числа  выполнены равенства

(19.1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.         

        Замечание 19.1   В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.         

Линейное преобразование пространства   называют также линейным отображением из   в   или линейным оператором из   в   .

Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что

то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.

        Пример 19.1   Пусть    -- двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть   . Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование   можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1).