7. Неравенство Крамера-Рао.

В математической статистике неравенством Краме́ра — Ра́о называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая её через информацию Фишера.

Формулировка

Пусть дана статистическая модель , — выборка размера , определена функция правдоподобия и выполнены следующие условия (условия регулярности):

• и везде дифференцируема по .

• Функция (функция вклада выборки) имеет конечную дисперсию (или, что то же, конечна информация Фишера).

• Для любой статистики с конечным вторым моментом имеет место равенство

.

Пусть при этих условиях дана статистика , которая несмещённо оценивает дифференцируемую функцию . Тогда справедливо следующее неравенство:

• ;

• равенство достигается тогда и только тогда, когда представляется в виде .

Здесь — информация Фишера.

Частный случай

Часто используется следующий частный случай вышеприведённого неравенства, также называемый неравенством Рао-Крамера. Пусть выполнены условия регулярности, а — несмещённая оценка параметра . Тогда

.

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда .

Применение

Оценка параметра называется эффективной, если для неё неравенство Крамера — Рао обращается в равенство. Таким образом, неравенство может быть использовано для доказательства того, что дисперсия данной оценки наименьшая из возможных, то есть что данная оценка в некотором смысле лучше всех остальных.

8. Интервальное оценивание. Интервальная оценка среднего.

Интервальная оценка дисперсии.

Интервальное оценивание - способ получения оценки для неизвестного значения скалярного параметра с помощью интервала его допустимых значений и определения вероятности того, что в этом интервале находится истинное значение параметра. На практике для получения интервальной оценки параметра q обычно заранее выбирается число р, такое, что 0<р<1, и находятся два других числа, зависящих от результатов наблюдений и таких, что вероятность нахождения q в интервале (q₁, q₂) равна р: этом случае интервал (q₁, q₂) наз. 100.р-процентным зрительным интервалом. Вероятность того, что доверительный интервал содержит истинное значение па этра q равная р, наз. коэф. доверия; вели и наз. соответственно ниж. и верх, штельными границами для параметра q. эксперим. физике Интервальное оценивание применяется как альтернаточечному оцениванию параметра ошибки, т. е. доверительный интервал для q соответствует ошибке параметра q.

Интервальная оценка среднего. Применение распределения Лапласа.

Определение доверительного интервала для выборочного среднего арифметического значения измеряемой величины А при известной дисперсий σх² :

случайная величина (результат измерения) х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием т_х и дисперсией σх² . В этом случае выборочное распределение оценки среднего значения А также нормально и имеет то же математическое ожидание и дисперсию.

Если доверительные границы ∆1=∆2=А₂=z∙σх/√n, то доверительный интервал

Р{(А-z∙σх/√n ) < А < (А+z∙σх/√n )},

где z — квантиль нормированного распределения Лапласа;

n – количество измерений.

Значения нормированной функции Лапласа Ф(z)=Р/2

z	Ф(z)	z	Ф(z)	z	Ф(z)	z	Ф(z)	z	Ф(z)
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8	0,00000 0,03983 0,07926 0,11791 0,15542 0,19146 0,22575 0,25804 0,28814	0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1.4 1,5 1,6 1,7	0,31594 0,34134 0,36433 0,38493 0,40320 0,41924 0,43319 0,44520 0,45543	1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6	0,46407 0,47128 0,47725 0,48214 0,48610 0.48928 0,49180 0,49379 0,49534	2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5	0,49653 0,49744 0,49813 0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977	3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,5	0,49984 0,49989 0,49993 0,49995 0,49997 0,49999

Результат измерений записывается в форме А ± ∆.

Если случайная величина х распределена по закону, отличному от нормального, то из следствий центральной предельной теоремы вытекает, что при увеличении объема выборки n выборочное распределение среднего значения выборки А приближается к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной величины (данное утверждение справедливо, если измеряемая случайная величина обладает конечной дисперсией).

Нормальность выборочного распределения величины А приемлема во многих случаях при п > 4 и вполне хорошо оправдывается при п > 10.