Суммирование погрешностей

При суммировании погрешностей пользуются:

1. Систематические погрешности если они известны или достаточно точно определены, суммируют алгебраически (с учетом знаков)

Рекомендуется при суммировании рассматривать все погрешности измерительной аппаратуры как случайные.

2. Случайные погрешности (среднеквадратические оценки) суммируют с учетом их взаимных коррекционных связей. Среднеквадратическая погрешность суммы двух случайных погрешностей характеризуемых среднеквадратичными отклонениями и ,

Где

Т.к. обычно информация о тесноте корреляционных связей отсутствует, то на практике рассматриваются 2 крайних случая: . При этом:

• Некоррелированные (вызванные взаимно независимыми источниками или причинами) погрешности суммируются геометрически

Если количество источников погрешностей n, то

Где – среднеквадратическая оценка погрешности, обусловленной -тым источником.

• Случайные погрешности, сильно или жестко коррелированные (коэффициент корреляции ), суммируются с учетом следующих предпосылок. Если причина вызывает в разных узлах прибора изменение погрешностей, то погрешности складываются, т. е.

Когда же изменения получаются противоположными, погрешности складываются, т.е.

3. Суммирование системной погрешности со случайной осуществляют с учетом корреляционных связей по тому же принципу, что и суммирование случайных погрешностей.

Погрешность косвенных измерений

Определение погрешностей функции результатов измерений основывается на двух теоремах теории погрешностей измерений:

Теорема 1: Если величина , значение которой измеряют косвенным путем, представляет собой линейную функцию

, где – независимые результаты прямых измерений значений аргументов , полученные с абсолютными среднеквадратичными случайными погрешностями и содержащие соответственно абсолютные математические погрешности (аддитивные составляющие) , то результат косвенного измерения, определяется из формулы , содержит абсолютную систематическую погрешность и характеризующуюся абсолютной среднеквадратичной случайной погрешностью

При доказательстве этой теоремы предполагается, что погрешности независимы друг от друга и от измеряемых значений.

Теорема 2: Если величина , значение которой измеряют косвенным путем, представляет собой нелинейную дифференцируемую функцию и – независимые результаты прямых измерений значений аргументов , полученные с абсолютными среднеквадратическими случайными погрешностями и содержащие соответственно систематические погрешности , то результат косвенного измерения, определяемый из выражения , содержит абсолютную систематическую погрешность и характеризуется абсолютной среднеквадратичной случайной погрешностью

При доказательстве теоремы 2 предполагается, что погрешности независимы друг от друга и от измеряемых значений, а также настолько малы, что функция в этих пределах изменения аргументов может быть линеаризована, т.е. при разложении функции в ряд Тейлора может быть учтены только члены первого порядка. Если случайные погрешности коррелированы, то

Где – корреляционный момент случайных погрешностей

Так как получение информации о тесноте корреляционных связей – задача сложная, то обычно рассматривают 2 крайних случая: при наличии связи полагают коэффициент корреляции а если она отсутствует, то

Когда знаки частных системных погрешностей результата косвенных измерений определяют по формуле

Эту погрешность называют предельной системной погрешностью. При расчете относительных погрешностей и вырождения для и относят к результату косвенных измерений А. Чтобы получить расчетные формулы правые части (*), (**), (***) после взятия частных производных делят соответственно на правые части функции или и в полученных выражениях заменяют аргументы результатами измерений.