Математическое описание случайных погрешностей

Измеряемая величина это случайная величина. Наиболее общей характеристикой непрерывной случайной величины является плотность распределения её вероятности, которая определяется как

,где dF(x) – вероятность значений случайной величины x в интервале dx.

Кроме этого используется функция распределения вероятностей случайной величины

которая выражает собой вероятность того, что случайная величина находится в интервале от до некоторого значения <x₁

Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией, определенной так, что . Вероятность того, что случайная величина x примет значение в интервале между x₁ и x₂ равна

В практике электроизмерений чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределениями.

Случайная величина распределена нормально, если её плотность вероятностей имеет вид

где – среднее квадратическое отклонение (СКО)

– математическое ожидание

Оценка случайных погрешностей прямых равноточных измерений

Случайные погрешности проявляются при многократных наблюдениях измеряемой величины в одинаковых условиях, их влияние на результат измерения надо учитывать и стремиться по возможности уменьшить.

К оценкам случайной величины, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка параметра Q считается состоятельной, если , несмещенной, если , эффективной, если . Здесь – результат i-того наблюдения n – число наблюдений.

Способы нахождения оценок конечного ряда наблюдений и показатели их качества зависит от законов распределения.

Для нормального распределения, а если пренебречь эффективностью оценки, то и для всех симметричных распределений, в качестве оценки математического ожидания ряда равноточных наблюдений принимают среднее арифметическое ряда наблюдений.

При , если нет систематических погрешностей, . Разность представляет собой случайную погрешность при i-том наблюдении. Она может быть положительной и отрицательной.

Среднее арифметическое независимо от закона распределения, обладает следующими свойствами:

В качестве оценки дисперсии берется дисперсия отклонения результата наблюдения

А в качестве оценки СКО результата наблюдения –

Широко используется понятие максимальной погрешности, под которой понимают закон трех сигм. Так как на практике число измерений не превышает несколько десятков, то появление погрешности равно , маловероятно. Потому погрешность – максимальная возможная случайная погрешность. Погрешности больше считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются. Схема обработки результатов измерения с многократными измерениями: