9 Билет

1Й вопрос: Многомерные многосвязные системы, их особенности и отличия от одномерных упровляемых систем. Математическое описание многомерных динамических систем в переменных «Вход-Выход»

Общая постановка задачи синтеза оптимальных многомерных САУ

Оптимальное управление в многосвязных системах. Выше были рассмотрены различные методы синтеза многомерных САУ, обеспечивающие улучшение качества функционирования систем. Однако многосвязные системы относятся к классу систем, для которых результат функционирования зависит одновременно от всех управляемых величин в их взаимосвязи. Поэтому для многосвязных систем наиболее эффективными управляющими системами являются системы, синтезированные на основе принципа оптимальности, который формулируется в виде минимизации (максимизации) функционала, зависящего одновременно от всех взаимосвязанных управляемых величин 2. При этом синтезируется управление с помощью соответствующим образом построенной цепи обратной связи, которая позволяет уменьшить влияние на систему внешних стохастических воздействий, внутренних флуктуаций и неточностей описания самого процесса. Преимуществом такого замкнутого контура по сравнению с разомкнутой цепью управления заключается в том, что процесс управления становится самонастраивающимся и самокорректирующимся, т. е. адаптивным 1,11.

Общая постановка задачи оптимального управления. Для линейной непрерывной многосвязной системы уравнения динамики которой имеют вид

x(t₀)=x⁰, (3.4.1)

y(t)=Cx(t)+Du(t), (3.4.2)

общая постановка задачи оптимального управления (или синтеза оптимальных САУ) состоит в том, что требуется синтезировать управляющие воздействия u(t), удовлетворяющие минимуму функционала (критерия) качества I(х, u, t) 11,12, т.е.

I(х, u, t)= (3.4.3)

на множестве U допустимых управлений u(t).

Здесь Ф_Т  терминальная часть функционала, т. е. скалярная функция, зависящая только от конечного состояния x(t₁) системы; Ф интегральная часть функционала, учитывающая потери за счет ошибки управляемого движения x(t), а также за счет расхода ресурса управления на интервале времени t_0, t₁.

В зависимости от выбора функционала качества можно получить различные типы задач оптимального управления 1. Так, например, если положить Ф_Т=0 и Фx, u, t 1, то I(х, u, t) = t₁t₀, и получаем задачу оптимального быстродействия.

Отметим, что в задачах управления ХТС и ХТП (см. пример 2.1.1) терминальная составляющая функционала в конечный момент времени t₁ может быть задана в виде

Ф_Тх(t₁) = х(t₁)z_c^Tх(t₁)z_c, (3.4.4)

а интегральная часть функционала  в виде квадратичного критерия качества, включающего среднюю ошибку управляемого движения х(t) и энергию , расходуемую при управлении.

В этом случае функционал качества I(х, u, t) запишется в форме

I(х,u,t) ,

(3.4.5)

где W₁(), W₂()  симметричные положительно определенные (полуопределенные) матрицы, т. е. x^TW₁х0 (0) и u^TW₂u0 (0) для любых ненулевых векторов x, u.

Допустимые управления. Минимизация функционала I(х, u, t) осуществляется на множестве U допустимых управлений, которое можно разбить на классы _u. Класс _u допустимых управлений состоит из функций u(), определенных на различных интервалах времени t_i, t_i+1. На функции из класса _u могут накладываться различные ограничения в виде равенств и неравенств.

Отметим, что задачи оптимального управления многомерными системами являются довольно сложными для аналитического решения и поэтому для их решения используются численные методы, которые позволяют получить результат в численном виде.