Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
АЛГЕМ.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
696.98 Кб
Скачать

Вопрос 25

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

В ортонормированном базисе (и только в нем)скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений координат сомножителей.

Координаты вектора и скалярное произведение в ортонормированном базисе

Пусть e1e2,  … , en — ортогональный базис в n –мерном евклидовом пространстве En и x — произвольный вектор в En . Тогда

x = α1 e1 + α2 e2 + … + αn en,

где α1α2,  … , αn — координаты вектора x в базисе e1e2,  … , en . Умножив это равенство скалярно на ei ( i = 1,2, … ,n ), получим

(eix) = α1 (eie1) + α2 (eie2) + … + αi (eiei) + … + αn (eien).

Так как (eiej) = 0 i ≠ j и (eiei) = || ei || 2 , то получаем формулы для координат вектора в ортогональном базисе (формулы Эйлера–Фурье):

αi = 

(eix)

|| ei || 2

 ,    i = 1,2, … ,n.

В ортонормированном базисе ( || ei || = 1 ):

αi = (eix),    i = 1,2, … ,n.

Теорема 1. Скалярное произведение двух векторов евклидова пространства в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов.

Справедливо также обратное утверждение.

Теорема 2. Если в некотором базисе скалярное произведение любых двух векторов евклидова пространства равно сумме попарных произведений их координат в этом базисе, то этот базис ортонормированный.

Доказательства этих теорем см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Замечание.

Если

X =

     

x1

x2

xn

     

  и  Y =

     

y1

y2

yn

     

— координатные столбцы векторов x и y в ортонормированном базисе e1e2,  … , en , то их скалярное произведение в этом базисе можно записать в матричной форме:

(x,y) = x1 y1 + x2 y2 + … xn yn = (x1 x2  …  xn) ·

     

y1

y2

yn

     

XT · Y,

где XT — матрица–строка, получаемая из столбца X с помощью операции транспонирования.