2. Теорема об изменении количества движения системы. Закон сохранения количества движения.

Запишем дифференциальное уравнение движения центра масс

Считая, что массы всех точек системы постоянны и, следовательно, , внесём массу системы под знак дифференциала

Но согласно (7)

это количество движения системы. Следовательно,

1212\* MERGEFORMAT ()

т.е. производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему.

Это и есть теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме, а равенство (12) – её математическое выражение.

В проекциях на оси Oxyz уравнение (12) записывается очевидным образом

1313\* MERGEFORMAT ()

На практике теорему об изменении количества движения чаще применяют в интегральной форме. Чтобы её получить, равенство (12), домножив обе части на , перепишем в виде

От обеих частей полученного равенства вычислим интегралы на промежутке времени от до

Левый интеграл – это просто разность значений количеств движения в конечный и начальный моменты времени:

Справа же получаем

т.е. сумму импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

Окончательно:

1414\* MERGEFORMAT ()

Равенство (14) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме:

изменение количества движения системы за любой конечный промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил за этот промежуток времени.

В проекциях на оси Oxyz получим

1515\* MERGEFORMAT ()

Пусть для какого-либо промежутка времени оказывается, что

1616\* MERGEFORMAT ()

Тогда из (14) будет следовать, что

1717\* MERGEFORMAT ()

т.е. количество движения системы за этот промежуток времени не изменится. Это и есть закон сохранения количества движения системы:

если за какой-либо промежуток времени импульс всех внешних сил равен нулю, то количество движения системы за этот промежуток времени не изменяется.

В частном случае может быть

Тогда из первого равенства (15) получим

а проекции количества движения на оси y и z изменяются в соответствие со вторым и третьим равенствами (15).

3. Момент количества движения точки и кинетический момент системы и твёрдого тела.

Пусть точка массы m движется по закону в какой-либо системе отсчёта. Вычисляем скорость этой точки

находим количество движения точки

и определяем момент этого вектора относительно центра О:

1818\* MERGEFORMAT ()

Полученный вектор называется моментом количества движения точки относительно центра О.

Если сравнить равенство (18) с выражением для момента силы относительно центра О

то легко установить, что вектор момента количества движения точки имеет такие же свойства и вычисляется по тем же правилам, что и момент силы: нужно только вместо вектора силы брать вектор количества движения точки .

Отсюда следует:

вектор

и направлен так, что с его конца вращение точки происходит против хода часовой стрелки;

модуль вектора равен

1919\* MERGEFORMAT ()

где h – плечо вектора : перпендикуляр, опущенный из центра О на касательную к траектории точки.

Аналогичным образом вычисляются проекции момента количества движения на оси координат.

М омент силы. Момент количества движения.

Переходим к механической системе. Пусть система состоит из N точек с массами . Положение точек определено с помощью радиус-векторов .

Определяем скорости точек системы

находим количества движения

и определяем согласно (18) моменты количеств движения всех точек относительно центра О

Затем все полученные векторы складываем и получаем вектор, равный

2020\* MERGEFORMAT ()

и называемый главным моментом количеств движения механической системы, или, кинетическим моментом системы.

Вычисляется кинетический момент системы по проекциям на оси координат:

2121\* MERGEFORMAT ()

Модуль кинетического момента найдётся после этого по известной формуле

2222\* MERGEFORMAT ()

Рассмотрим пример. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси АВ с угловой скоростью .

Определить проекцию кинетического момента этого тела на ось вращения.

Направим вдоль оси вращения координатную ось z. Для определения проекции кинетического момента на ось z воспользуемся третьим выражением (21). Имеем из кинематики

Подставив эти равенства в (21), получим

Выражение

2323\* MERGEFORMAT ()

называется осевым моментом инерции тела.

Окончательно, таким образом, получаем

2424\* MERGEFORMAT ()

т.е. проекция кинетического момента вращающегося твёрдого тела на ось вращения равна произведению момента инерции тела на его угловую скорость.

В формулу (24) входит величина, определённая равенством (23) и называемая осевым моментом инерции тела. Моменты инерции в дальнейшем будут необходимы очень часто, поэтому прежде чем двигаться дальше рассмотрим вопрос о моментах инерции более подробно.