РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ОРЛОВСКАЯ РЕГИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В УПРАВЛЕНИИ

Типовой расчет по математике

Тема: «Действия над событиями»

для специальности

«Социальная работа»

Составил: доцент Афонина Т.Н.

Рекомендовано кафедрой: «Математики и математических методов в управлении»

Зав. кафедрой, доктор эконом. наук, профессор

___________________________Шуметов В.Г.

ОРЕЛ 2009

Цели и задачи типового расчета

Закрепление знаний, полученных на лекциях по теории вероятности, путем решения типовых задач. Усвоение понятий основных видов случайных событий и отработка навыков алгебраических действий над событиями.

Основные положения теории вероятностей изложены в учебниках:

[1] Н.Ш.Кремер Теория вероятностей и математическая статистика. - М. ЮНИТИ, 2002.

[2] М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. —М., «Дело», 2003.

[3] В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. - М. Высшая школа, 2000.

Типовой расчет "Теория вероятностей" включает в себя 5 типовых задач, исходные данные для которых задаются для каждого варианта индивидуально. Варианты задаются преподавателем.

1. Классическое определение вероятности.

Задача 1. Получателями социальных пособий являются три группы клиентов социальной службы. Один специалист обслуживает n₁ клиента из 1-ой группы, число клиентов 2-ой группы равно n₂, 3-ей группы - n_3. Разовая денежная выплата предназначена m клиентам. Определить вероятность того, что среди них m₁ представителя 1-ой группы, m₂, и m₃ – второй и третьей группы соответственно.

Решение (для нулевого варианта: n₁ =2, n₂ =3, n₃ =4, m₁ =2, m₂ =1, m₃=2). В соответствии с классическим определением, вероятность наступления события А находится по формуле: Р(А)= , где N–полное число возможных исходов, а М–число исходов, благоприятствующих событию А. В рассматриваемой задаче полным числом возможных исходов является количество способов, которыми можно из всех n=Уn_i = 9 клиентов выбрать m=Уm_i = 5 клиентов, причем, порядок выбора не имеет значения. Число таких комбинаций (сочетаний) находится по формуле , N=126.

Количество благоприятствующих исходов находится, как произведение числа способов выбрать требуемое количество изделий каждого сорта. , М=

Подставляя полученные значения M и N в формулу, найдем искомую вероятность: Р = 18/126 ≈ 0,143.

Ответ: вероятность того, что из 5 наудачу выбранных клиентов окажется 2 клиента первой группы, 1 – второй и 2 – третьей группы равна 0,143.

2. Сумма и произведение событий.

Задача 2. В двух партиях социальной помощи k₁ и k₂ % упаковок продуктов питания соответственно. Наудачу выбирают по одной упаковке из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одну упаковку средств гигиены; б) две упаковки средств гигиены; в) одну упаковку продуктов питания и одну упаковку средств гигиены?

Решение (для нулевого варианта: k₁ =76, k₂ =42). Введем обозначения:

р₁ = , р₂ = - вероятность выбрать упаковку продуктов питания соответственно из первой и второй партии;

событие А — выбрана хотя бы одна упаковка средств гигиены;

событие В — выбраны две упаковки средств гигиены.

событие С — выбраны одна упаковка продуктов питания и одна упаковка средств гигиены.

а ). Найдем Р(А). Поскольку выбор изделий из разных партий – события независимые, можно воспользоваться формулой Р(А)= 1 – Р(А), – событие, заключающееся в том, что обе упаковки составлены из средств гигиены.

Р(А) = 1 – р₁∙р₂ =1-0,76∙0,42 ≈0,68.

б). Найдем Р(В). Поскольку событие В является произведением независимых событий (совместным выбором двух упаковок средств гигиены), и вероятности выбора упаковок средств гигиены в партиях q₁ = 1-p₁ и q₂ = 1-p₂,

Р(В) =(1-p₁)∙(1-p₂ ) = (1-0,76)∙(1-0,42) ≈ 0,14.

в). Найдем Р(С). Событие С является суммой двух несовместных событий: «первая упаковка продуктов питания, а вторая – средств гигиены» и «первая упаковка средств гигиены, а вторая – продуктов питания». Каждое из этих событий является произведением соответствующих независимых событий. На основании теорем о сумме несовместных событий и произведении независимых событий можно записать: Р(С) = р_1∙(1-р₂) + (1-р₁)∙р_2.

Р(С) =0,76∙(1-0,42) + (1-0,76)∙0,42 ≈ 0,54

Ответ: Р(А) ≈ 0,68; Р(В) ≈0,14; Р(С) ≈ 0,54.