
- •Тема Статистические оценки параметров распределения
- •20. 1 Несмещенные, эффективные и состоятельные статистические оценки
- •20.8. Выборочная дисперсия
- •Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсия
- •20.6. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии
- •54.3 Начальный и центральный эмпирические моменты
- •54.4 Точечные оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал
- •54.5 Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •54.6 Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения
54.5 Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
Пусть известен вид функции плотности распределения вероятностей случайной величины, зависящей от одного неизвестного параметра .
Например,
-
показательное распределение. Требуется
найти точечную оценку параметра
.
В случае показательного распределения
=
.
Для
получения оценки одного параметра можно
использовать одно уравнение с одним
неизвестным. В методе моментов в качестве
такого уравнения предлагается равенство
Теоретический
момент первого порядка, как известно,
представляет собой математическое
ожидание
,
а эмпирический момент первого порядка
- это
выборочная средняя
.
Для
показательного распределения известно,
что
Если плотность распределения вероятностей зависит от двух параметров, следует рассматривать как двумерный вектор. Для оценки этих параметров требуется составлять не одно, а два уравнения. Такими уравнениями могут быть равенства
,
.
54.6 Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения
Пусть X - дискретная случайная величина, которая при выборке объемом n получила значения . Допустим, что известен вид закона распределения вероятностей, но неизвестен параметр .
Обозначим
через
вероятность того, что величина X
принимает
значения
,
.
Функцией
правдоподобия дискретной случайной
величины
называют функцию
(54.1)
Точечной оценкой параметра считается такое значение , при котором функция L принимает наибольшее значение. Эту оценку называют оценкой наибольшего правдоподобия.
Так как функции L и lnL обычно принимают наибольшее значение при одном и том же , то оценку определяют на основе максимизации функции lnL . Для этого функцию исследуют на максимум с помощью необходимого (а иногда и достаточного) условия экстремума. Этот метод эффективен в случае малых выборок, но часто требует довольно сложных вычислений.
Пример. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра в распределении Пуассона
на основе проведенных опытов.
Решение.
Будем называть опытом группу из n
испытаний.
При этом в каждом опыте фиксируется
число появлений рассматриваемого
события. Пусть таких опытов будет m.
Тогда
число появлений события в i-м
опыте будет
.
Подставляя
полученное значение
в
формулу Пуассона, получаем
Эти
вероятности
подставим
в функцию правдоподобия
=
Находим логарифм этой функции
ln
L=
Возьмем первую производную по и приравняем ее к нулю:
Если взять вторую
производную,
,
то она отрицательна.
Следовательно, полученное значение
максимально.
Литература
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001
Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. /Под ред.В.И.Ермакова.-М.:ИНФРА-М,20001.-656с