54.5 Метод моментов для точечной оценки параметров распределения

Пусть известен вид функции плотности распределения вероятностей случайной величины, зависящей от одного неизвестного параметра .

Например, - показательное распределение. Требуется найти точечную оценку параметра . В случае показательно­го распределения = . Для получения оценки одного параметра можно использовать одно уравнение с одним неизвестным. В методе моментов в качестве такого уравнения предлагается равенство

Теоретический момент первого порядка, как известно, представляет собой математическое ожидание , а эмпирический момент первого порядка - это выборочная средняя .

Для показательного распределения известно, что

Если плотность распределения вероятностей зависит от двух пара­метров, следует рассматривать как двумерный вектор. Для оценки этих параметров требуется составлять не одно, а два уравнения. Такими уравнениями могут быть равенства

, .

54.6 Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения

Пусть X - дискретная случайная величина, которая при выборке объемом n получила значения . Допустим, что известен вид закона распределения вероятностей, но неизвестен параметр .

Обозначим через вероятность того, что величина X принимает значения , . Функцией правдоподобия дискретной случайной величины называют функцию

(54.1)

Точечной оценкой параметра считается такое значение , при котором функция L принимает наибольшее значение. Эту оценку называют оценкой наибольшего правдоподобия.

Так как функции L и lnL обычно принимают наибольшее значение при одном и том же , то оценку определяют на основе максимиза­ции функции lnL . Для этого функцию исследуют на максимум с помощью необходимого (а иногда и достаточного) условия экстремума. Этот метод эффективен в случае малых выборок, но часто требует довольно сложных вычислений.

Пример. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку па­раметра в распределении Пуассона

на основе проведенных опытов.

Решение. Будем называть опытом группу из n испытаний. При этом в каждом опыте фиксируется число появлений рассматриваемого события. Пусть таких опытов будет m. Тогда число появлений события в i-м опыте будет . Подставляя полученное значение в формулу Пуассона, получаем

Эти вероятности подставим в функцию правдо­подобия

=

Находим логарифм этой функции

ln L=

Возьмем первую производную по и приравняем ее к нулю:

Если взять вторую производную, , то она отрицательна. Следовательно, полученное значение максимально.

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. /Под ред.В.И.Ермакова.-М.:ИНФРА-М,20001.-656с