Кисляков Н.И. Математическая статистика Л.20 стр. 7 09.03.25

Лекция 20

Цель лекции – выборочная дисперсия, методы оценки параметров

Тема Статистические оценки параметров распределения

20. 1 Несмещенные, эффективные и состоятельные статистические оценки

Одной из центральных задач математической статистики являет задача оценки теоретического распределения случайной величины на основе выборочных данных. При этом предполагается, что закон распределения генеральной совокупности известен, но неизвестны его параметры, такие, например, как математическое ожидание и дисперсия. Требуется найти приближенные значения этих параметров, т. е. полу­чить их статистические оценки.

Обозначим через оценку некоторого теоретического параметра закона распределения случайной величины X. Рассматривая выбороч­ные значения как реализации случайных величин , получивших конкретные значения в результате опытов, можно пред­ставить оценку как функцию этих случайных величин

.

Это значит, что оценка тоже является случайной величиной. Если для оценки некоторого параметра взять несколько ( например k) выбо­рок, то в общем случае получим столько же разных случайных оценок . Математическое ожидание случайной величины , име­ющей отмеченные реализации, может совпасть, или не совпасть с оцениваемым параметром .

Несмещенной называется статистическая оценка 0*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру М ( ) = .

Смещенной называется оценка , математическое ожидание кото­рой не равно оцениваемому параметру.

Так же как и для любой случай­ной величины, оценка может иметь большой или небольшой раз­брос (дисперсию) относительно математического ожидания.

Эффективной называется статистическая оценка, которая при одних и тех же объемах выборки имеет наименьшую дисперсию.

В некоторых случаях становится интересным поведение оценки при неограниченном увеличении объема выборки.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объема выборки n стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т. е.

М ( ) = и

20.2. Генеральная средняя

20.3 Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Пусть проведена выборка объема n.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значений выборки.

Если все значения выборки различны, то .

Если же варианты имеют соответственно частоты , то

, ,

По этим же формулам вычисляется генеральная средняя

, , .

20.4. Устойчивость выборочных средних

Выборочная средняя - несмещенная оценка генеральной средней.

Будем рассматривать как случайную величину , а как независимые одинаково распределенные случайные величины , имеющие одинаковое математическое ожидание, которое обозначим a . Тогда

Вывод: выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней.

20.5. Групповая и общая средние

В некоторых случаях выборочные значения случайной величины це­лесообразно разбивать на отдельные группы. В каждой группе можно найти ее среднюю .

Групповой средней называют среднее арифметическое значений выборки, принадлежащих группе.

По этим групповым средним можно найти среднее для всей вы­борки.

Общей средней называют среднее арифметическое значение груп­повых средних.

.

20.6. Отклонение от общей средней и его свойства

20.7. Генеральная дисперсия

Генеральная дисперсия – средняя арифметическая квадратов отклонений наблюдаемых значений признака генеральной совокупности от их среднего значения

Если все значения различны, то

,

Если значения имеют соответственно частоты и , то

,

Генеральная дисперсия - средняя взвешенная квадратов отклонений с весами , равными соответствущим частотам.

Генеральное среднее квадратическое отклонение (стандарт) есть квадратный корень из генеральной дисперсии