12.5. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

Известно, что нормально распределенные случай­ные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдаю­щимся русским математиком А. М. Ляпуновым в тереме.

Централь­ная предельная теорема: если случайная величина X пред­ставляет собой сумму очень большого числа взаимно неза­висимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение изме­ряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммар­ную ошибку».

12.6. Неравенство Чебышева

Рассмотрим дискретную случайную величину, заданную рядом распределения . Оценим вероятность того , что отклонение случайной величины X от M(X) по абсолютной величине не превосходит .

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положитель­ного числа , не меньше, чем 1 - D(Х)/ :

P (| X— М (X) | < ) 1 — D (Х)/ .

Так как события, состоящие в осуществлении неравенств и , противоположны, то сумма их вероятностей равна еди­нице

.

Таким образом, задача сводится к вычислению вероят­ности .

Напишем выражение дисперсии случайной величины X:

.

Отбросим те слагаемые, у которых (для оставшихся слагаемых ), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся счи­тать для определенности, что отброшено k первых сла­гаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таб­лице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

где

12.7. Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если - попарно независимые случайные величины, причем диспер­сии их равномерно ограничены (не превышают постоян­ного числа С), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

где .

Теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число незави­симых случайных величин, имеющих ограниченные ди­сперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их ма­тематических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Найдем математическое ожидание . Пользуясь свой­ствами математического ожидания (постоянный множи­тель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математи­ческих ожиданий слагаемых), получим

,

Применяя к величине неравенство Чебышева, и учитывая, что

,

Переходя к пределу при , получаем .

Частный случай. Если слу­чайные величины имеют одно и то же математическое ожидание , то . Следовательно