42. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям

Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметрич­ной. Обобщая опытные данные, В. Паули сформулировал принцип, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых ан­тисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).

Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, который может быть использован в его простейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел п, l, m_l и т_s т. е.

где Z(п, l, m_l, т_s) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описыва­емом набором четырех квантовых чисел: п, l, m_l, т_s. Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно формуле (223.8), данному n соответствует n² различных состояний, от­личающихся значениями l и m_l. Квантовое число т_s может принимать лишь два значения (± ½). Поэтому максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l. Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n–1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке опреде­ляется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l+1). Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 6.

Таблица 6

43. Общие сведения о квантовых статистиках. Функции Принцип неразличимости тождественных частиц. Распределения Ферми-Дирака, Бозе- Эйнштейна. Бозоны и Фермионы.

Квантовая статистика – раздел статистической физики, исследующей системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Одним из важнейших объектов излучения квантовой статистики является идеальный газ. Состояние системы создается числами заполнения Ni – чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Для частиц образованных бозонами – частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать только целые значения: 0,1,2,3,4…. Для частиц образованных Фермионами – частиц с полуцелым спином, числа заполнения могут принимать два значения: 0 - для свободных и 1 - для занятых состояний. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, определить средние числа заполнения <Ni>. Идеальный газ бозонов - описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. <Ni>=1/exp((Ei-μ)/kT)-1<N<Ni>=i>= среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Еi, μ-химический потенциал не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. μ-определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем) фиксированы.

Идеальный газ Фермионов- газ Ферми описывается квантовой стетистикой Ферми-Дирака: <Ni>=1/exp((Ei-μ)/kT)+1; Если exp((Ei-μ)/kT) >>1 то распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвела - Больцмана <Ni>=A*exp(Ei/kT) A=exp(μ/kT). При высоких T два газа ведут себя одинаково.

45.Зонная теория твердых тел: металлы, диэлектрики, полупроводники. Собственная и примесные проводимости полупроводников. Фотопроводимость.

Используя уравнение Шредингера- основное уравнение динамики в квантовой механике- можно рассмотреть задачу о кристалле, найти возможные значения его энергии, а так же соответствующие энергетические состояния. Но в классической и квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенным сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела. В основе данной теории лежит так называемое адиабатическое приближение. Квантово механическая система делится на тяжелые и легкие частицы – ядра и электроны. Массы и скорости их отличаются, поэтому считается что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах криталлической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер. Зонная теория твердых тел позволила истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя их различие в их электрических свойствах, во- вторых, шириной запрещенных зон. В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая.1. Самая верхняя зона содержащая электроны заполнена частично, т.е. в имеются вакантные уровни. В данном случае электрон может стать свободным при маленькой добавке энергии 1-4эВ. Это тело всегда будет проводником электрического тока. Это свойственно металлам. Твердое тело является проводником и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что приводит к неполностью запрещенной зоне, в щелочено- земельных металлах II- группы Таблицы Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn, …etc) Когда ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких Эв, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости и кристалл является диэлектриком, остается им при всех реальных температурах. Если переброс может быть осуществлен, посредством, сравнительно легкого теплового возбуждения, либо за счет внешнего источника, способного передать электронам энергию ΔE<=1эВ, и кристалл является полупроводником.