2. Гармонический анализ детерминированных сигналов

Пусть сигнал, подаваемый на вход разрабатываемого фильтра, описывается периодической функцией времени x(t), которая удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной в пределах периода ее изменения Т, а в точках разрыва принимает ограниченные значения. Тогда функцию x(t) можно представить в виде ряда Фурье:

, (2.1)

коэффициенты которого определяются по формулам

,

,

, (2.2)

где k = 0, 1, 2, 3, ….. .

Распространена и другая форма записи ряда Фурье:

, (2.3)

где постоянную составляющую d₀, амплитуду d_k и фазу θ_k для k-й гармоники сигнала находят как

, , (2.4)

Совокупность значений d_k и θ_k (k = 1,2,3...) обычно называют амплитудным и фазовым частотными спектрами сигнала (спектром амплитуд и спектром фаз), а последовательность операций, в результате выполнения которых находят указанные значения d_k и θ_k для каждой гармоники сигнала, - гармоническим анализом.

Важное свойство ряда Фурье, вытекающее из условия ортогональности базисных функций: если при разложении x(t) в ряд по формулам (2.1) - (2.2) ограничиться лишь пер­выми N гармониками, то полученный таким образом тригоно­метрический полином

обеспечивает наилучшее среднеквадратическое приближение функции x(t).

Для вычисления средней мощности периодического сигнала при единичном сопротивлении нагрузки, Р_ср, можно воспользоваться соотношением

. (2.5)

Рассмотрим частотный спектр периодического импульсного сигнала (рис. 2.1), для которого справедливы следующие соотношения:

Коэффициенты разложения этой функции в ряд Фурье, вычислен­ные согласно (2.2), принимают значения:

, ,

Отсюда получаем выражение для амплитудного частотного спектра

, (k = 1, 2, 3, …..),

который удобно представить графически в виде отрезков длины d_k, проведенных перпендикулярно оси, на которой наносятся значения частот kω₁.

На рис. 2.2 приведен график амплитудного частотного спектра исследуемого сигнала для τ/Т = 1/2 (по оси ординат отложены относительные значения амплитуд гармоник d_k /E). Как видно из графика на рис. 2.2, в спектре сигнала преобладают низкочастотные составляющие. Воспользовавшись формулой (2.5), нетрудно убедиться, что распределение средней мощности сигнала по его гармоникам является следующим: 50 %  постоянная составляющая, 40 %  первая гармоника, 5 %  третья гармоника, 1 %  пятая гармоника и т. д. Таким образом, в диапазоне частот (0  2ω₁) содержится 90 % средней мощности импульсного сигнала, в полосе частот (0  4ω₁)  95 % мощности сигнала.

На рис. 2.3 показан график амплитудного частотного спектра для τ/Т = 1/5. Вычисления показывают, что 90% средней мощности сигнала содержится в диапазоне частот (0  5ω₁) , a 95 %  в диапазоне (0  10ω₁).

Частотный спектр непериодического сигнала формально можно получить из спектра соответствующего периоди­ческого сигнала, принимая T → ∞ в формуле (2.2). В этом случае разность частот между двумя соседними гармониками ω₁ = 2π/Т стремится к нулю, т. е. частотный спектр из дискретного (линейчатого) становится непрерывным (сплошным). Если функция x(t), описывающая исследуемый сигнал, на любом конечном интервале удовлетворяет усло­виям Дирихле и, кроме того, является абсолютно интегрируемой на бесконечном промежутке (∞, +∞), т. е.

,

то частотный спектр этой функции определяется интегралом Фурье

. (2.6)

Для выяснения физического смысла преобразования (2.6) приведем формулу обратного преобразования Фурье, осуществляющего обратный переход от изображения X(jω) к ори­гиналу  временной функции х(t):

. (2.7)

Отсюда видно, что интеграл Фурье позволяет представить непериодическую функцию x(t) в виде суммы бесконеч­ного числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами

и с частотами, занимающими диапазон от ∞ до +∞. Таким образом, изображение X(jω) ха­рактеризует плотность распределения амплитуд гармони­ческих составляющих по отдельным участкам спектра и поэтому нередко называется спектральной плот­ностью сигнала. Полученное изображение может быть представлено в виде произведения

, (2.8)

где Х(ω) = |X(jω)|  амплитудно-частотный спектр, а θ(ω) = argX(jω) – фазо-частотный спектр сигнала.

При определении энергии сигнала x(t) можно восполь­зоваться равенством Парсеваля

. (2.9)

В левой части равенства (2.9) записано выражение для полной энергии сигнала W во временной области, в правой  та же энергия, но подсчитанная в частотной области, с учетом характера распределения амплитудного частотного спектра.

В качестве примера найдем частотный спектр одиночного прямо­угольного импульса, принимающего значение Е на временном интервале [τ/2, τ/2].

Согласно (2.6)

, (2.10)

откуда

. (2.11)

Как видно из рис. 2.4, энергия исследуемого сигнала также в основном сосредоточена в области низких частот (90 % полной энергии сигнала содержится в диапазоне частот от 0 до ω = 2π/τ; 95 %  в диапазоне частот, не превышающих ω = 4π/τ). Таким образом, как и в случае периодического импульсного сигнала (см. рис. 2.1), здесь можно говорить о практической ширине частотного спектра Δω, которая влияет на поведение (форму) сигнала.

Если принять, что поло­са частот Δω содержит 90 % энергии сигнала, то получаем Δf = Δω/2π = 1/τ. Иногда последнее выраже­ние записывают как и называют его соотношением неопределеннос­тей.

На практике периодический сигнал в электрической цепи можно получить, если генератор напряжения (тока) работает достаточно долго. Так как время его работы всегда конечно, возникает вопрос: какой сигнал можно считать периодическим? Для ответа на этот вопрос вводится понятие текущего (мгновенного) спектра сигнала:

, (2.12)

где t₀  момент начала развития процесса х(t); t  теку­щее время наблюдения. В отличие от определения (2.6), которое отражает процесс х(t) на всей временной оси (∞,+∞), текущий спектр сигнала X_t(jω) учитывает реаль­ную историю процесса и позволяет проследить изменение во времени амплитуд и фаз его отдельных гармонических составляющих.

Пусть прямоугольный импульс выдается генератором, который по истечении паузы, равной длительности импульса τ, выдает второй аналогич­ный импульс, затем через время τ  третий и т. д. Как показывают результаты спектрального анализа, выполненного на основе формул, представленных выше, с ростом числа импульсов (п) на выходе генератора теку­щий частотный спектр сигнала постепенно превращается из непрерывного в дискретный. Этот спектр представлен на рис. 2.5.

Здесь на рис. 2.5 по оси ординат отложены относительные значения амплитуд спектральных составляющих X (ω) для п = 5, пунктиром отмечен график амплитудного спектра одиночного импульса. Видно, что в частотном спектре сигнала наибольший удельный вес имеют гармоники, группирующиеся вокруг частот  = 0, /, 3/, 5/, т. е. кратных значению ₁ = / = 2/T. Таким образом, периодический процесс - это предел, к которому может стремиться с течением времени реальный повторяю­щийся процесс (на практике достаточно повторения 20  30 импульсов, для того чтобы частотный спектр сигнала считать линейчатым).