2. Когда применимо динамическое программирование

Для задач, решаемых методом динамического программирования, характерны два признака:

• оптимальность для подзадач;

• перекрывающиеся подзадачи.

Оптимальность для подзадач

Задача обладает свойством оптимальности для подзадач, если оптимальное решение задачи содержит оптимальные решения ее подзадач.

Перекрывающиеся подзадачи

Свойство задачи, существенное при использовании динамического программирования, – небольшое число различных подзадач. При рекурсивном решении многократно выходим на одни и те же подзадачи. В таком случае говорят, что у оптимизационной задачи имеются перекрывающиеся подзадачи. В типичных случаях количество подзадач полиномиально зависит от размер а исходных данных.

3. Наибольшая общая подпоследовательность

Последовательность Z = z₁,z₂,…,z_k

называется подпоследовательностью последовательности X = x₁,x₂,…,x_n , если существует строго возрастающая последовательность индексов i₁,i₂,…,i_k , для которой

при всех j = 1, 2, … k.

Пример

Z = B, C, D, B является подпоследовательностью последовательности

X = A, B, C, B, D, A, B ; cоответствующая последовательность индексов есть 2,3,5,7 .

Последовательность Z является общей подпоследовательностью последовательностей X и Y , если Z является подпоследовательностью как X так и Y .

Задача о наибольшей подпоследовательности (задача НОП)

Найти общую подпоследовательность наибольшей длины для двух данных последовательностей X и Y.

Решение перебором вариантов

Перебираем все подпоследовательности последовательности X и проверяя для каждой из них, не будет ли она подпоследовательностью последовательности Y.

Алгоритм будет работать экспоненциальное время, так как последовательность длины m имеет 2^m подпоследовательностей.

Строение наибольшей общей подпоследовательности

Теорема 1.

Пусть Z = z₁, z₂, . . . z_k - одна из наибольших общих подпоследовательностей для X = x₁, x₂, . . . x_m и Y = y₁, y₂, . . . y_n . Тогда:

1) если x_m = y_n, то z_k =x_m = y_n и Z_k-1является НОП для X_m-1 и Y_n-1;

2)если x_m ≠ y_n, и z_k ≠ x_m , то Z является НОП для X_m-1 и Y.

3)если x_m ≠ y_n и z_k ≠ y_n , то Z является НОП для X_m и Y_n-1.

НОП двух последовательностей содержит в себе наибольшую общую подпоследовательностей их префиксов. Таким образом задача о НОП обладает свойством оптимальности для подзадач.

Рекуррентная формула

Теорема 1 показывает, что нахождением НОП последовательностей и сводится к решению либо одной, либо двух подзадач. Если , то достаточно найти НОП последовательностей и дописать к ней в конце . Если же , то надо решить две подзадачи: найти НОП для , а затем найти НОП для . Более длинная из них и будет служить НОП для

Видно, что возникает перекрытие подзадач.

Чтобы найти НОП нам может понадобиться найти НОП и НОП ; каждая из этих задач содержит подзадачу нахождения НОП для

Обозначение

C[i, j] – длина НОП для последовательностей

Рекуррентное соотношение для c[i,j]

0, если i = 0 или j =0,

c[i-1,j-1]+1, если i, j >0 и x_i = y_j

max (c[i,j-1], c[i-1 ,j]), если i, j >0 и x_i ≠ y_j

Вычисление длины НОП

Так как различных подзадач всего Θ (mn) для решения задачи лучше использовать динамическое программирование.

Исходные данные:

последовательности X = x₁, x₂, . . . x_m

и Y = y₁, y₂, . . . y_n

результат:

таблицы c [0..m,0..n] и b[1..m,1..n]

LCS-LENGTH (X,Y)

1 m  length[X]

2 n  length[Y]

3 for i  1 to m

4 do c[i,0]  0

5 for j  1 to n

6 do c[0,j]  0

7 for i  1 to m

8 do for j  1 to n

9 do if x_i = y_j

10 then c[i,j]  c[i-1,j-1]+1

1 1 b[i,j]  “ ”

12 else if c[i-1,j] ≥ c[i,j-1]

13 then c[i,j]  c[i-1,j]

14 b[i,j]  “ ↑ ”

15 else c[i,j]  c[i,j-1]

16 b[i,j]  “ ← ”

17 return c,b

Построение НОП

PRINT-LCS (b,X,i,j)

1 if i= 0 или j = 0

2 then return

3 if b[i,j]  “ ”

4 then PRINT-LCS (b,X, i-1, j-1)

5 напечатать x_i

6 elsif b[i,j] =“ ↑ ”

7 then PRINT-LCS (b,X, i-1, j)

8 else PRINT-LCS (b,X, i, j-1)

Время работы процедуры порядка О (m+n)