4. Средние величины

Как уже неоднократно было сказано ранее, статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией, о ней подробно будет рассказано в теме 5 «Ряды распределения в таможенной статистике». Здесь же рассмотрим другое свойство массовых явлений – присущую им близость характеристик отдельных явлений. В этом свойстве заключается причина широчайшего применения средних величин. Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

4.1 Средняя арифметическая величина, ее свойства

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид (2):

. (2)

По формуле (2) вычисляются средние величины первичных признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения или группировку, как, например, табл. 1.

Таблица 1. Распределение дней работника таможни по числу оформленных ДТ в марте

Количество ГТД, оформленных работником таможни за день, X	1	2	3	4	5	6	7
Число дней, f	3	5	7	4	2	1	1

Среднее число оформленных ДТ за день должно представлять собой результат равномерного распределения общего числа оформленных ДТ за все 23 рабочих дня марта. Общее число оформленных ДТ, согласно исходной информации табл. 1, можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе X_i, на число дней с таким количеством оформленных ГТД f_i (частоты). Получим формулу (2):

, (2)

где i – число групп.

Такую форму средней арифметической величины называют взвешенной арифметической средней⁵ в отличие от простой средней, рассчитанной по формуле (2). В качестве весов здесь выступают количество единиц совокупности в разных группах. Название «вес» выражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины. «Важнее», весомее число дней, когда работник оформлял 2, 3, 4 ДТ за день, а такие значения, как 5, 6 или 7 оформленных ДТ за день, как бы ни радовалось начальство такой производительности работника, при расчете средней не играет большой роли: их «вес» мал.

По формуле (2) по данным табл. 1 имеем:

= 3,17 (оформленных работником за день ДТ).

Как видим, средняя арифметическая величина может быть дробным числом, если даже индивидуальные значения признака могут принимать только целые значения. Ничего необычного для метода средних в этом не заключено, так как из сущности средней не следует, что она обязана быть реальным значением признака, которое могло бы встретиться у какой-либо единицы совокупности.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. При отсутствии возможности экспертной оценки значения признака в открытых интервалах, для нахождения недостающей границы открытого интервала применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала (принцип «соседа»).

Например, по условным данным табл. 2 можно минимальной величиной таможенной стоимости считать 0 тыс.долл., тогда первый интервал будет от 0 до 5 тыс.долл., а максимальную величину определить затруднительно, поэтому воспользуемся принципом «соседа» – применим размах соседнего интервала 15 тыс.долл. (30 – 15), значит последний интервал будет от 30 до 45 тыс.долл.

Таблица 2. Распределение товаров по величине таможенной стоимости

Группы товаров по величине таможенной стоимости, тыс.долл.	Количество товаров, тыс.шт.	Середина интервала Xi’	Xi’fi
До 5	12	2,5	30
5 – 15	38	10	380
15 – 30	45	22,5	1012,5
Более 30	5	37,5	187,5
Итого	100	16,1	1610

Средняя величина таможенной стоимости, рассчитанная по формуле (2) с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил:

тыс. долл.,

что и записано в итоговую строку в 3-м столбце табл. 2. Следует обратить внимание, что объемного показателя – это сумма, а итог по столбцам относительных показателей или средних групповых величин – средняя.

Средняя арифметическая величина обладает свойствами, знание которых полезно как при ее использовании, так и при ее расчете.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю. Доказательство⁶:

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз. Доказательство:

Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в c раз, произвести расчет средней и результат умножить на c.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число. Доказательство:

Это свойство полезно использовать при расчете средней величины из многозначных и слабоварьирующих значений признака аналогично предыдущему свойству.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится. Доказательство:

Используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерениях.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. Доказательство: составим сумму квадратов отклонений от переменной a: , чтобы найти экстремум этой функции, найдем ее производную по a и приравняем ее нулю, т.е. , отсюда получаем ; ; ; . Таким образом, экстремум суммы квадратов отклонений достигает максимума при a= . Так как логически ясно, что максимума функция иметь не может, этот экстремум является минимумом.