Задание 6. Решение задачи линейного программирования с помощью excel на примере задачи оптимизации плана производства.

Дано:

Малое мебельное предприятие изготовляет стулья и кресла. Стоимость стула А рублей, стоимость кресла B рублей. Для их производства используются материалы трех наименований : с1 кг – материала первого наименования, с2 кг - второго и с3 кг – третьего наименования. Расходы этих материалов составляют: на стул - а1 кг материала первого наименования, а2 кг – второго, а3 кг – третьего наименования; на кресло, соответственно, материала первого наименования - в1 кг, второго, - в2 кг, третьего, - в3 кг. Установить такой план выпуска изделий, чтобы предприятие от их реализации получило максимальную прибыль.

Таблица 12

Вариант	а1	а2	а3	в1	в2	в3	с1	с2	с3	А	В
6	14	15	20	40	27	4	740	742	822	6	9

Решение.

1. Выяснили, как формируется таблица для развязывания задачи, в какой последовательности и как вводятся данные, необходимые для развязывания задачи. Определили, какие переменные и в каком количестве должны быть определенны, как они связаны с другими данными задачи в форме критерия и в форме ограничений.

Составим математическую модель, для чего введем следующие обозначения:

x_j - количество выпускаемой продукции j-го типа, j=1,4;

b_i - количество располагаемого ресурса i-го вида, i=1,3;

a_ij - норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;

c_j - прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

2. Теперь приступим к составлению модели.

6Х₁+9Х₂ → max

14Х₁+40Х₂ ≤ 740

15Х₁+27Х₂ ≤ 742

20Х₁+4Х₂ ≤ 822

Х₁,Х₂ ≥0

3. Заполнили созданную форму данными – коэффициентами целевой функции, коэффициентами системы линейных неравенств, свободными членами системы линейных неравенств, соотношениями между левыми и правыми частями неравенств.

4. Установили: амбарчик с целевой функцией, направление оптимизации, диапазон амбарчиков со значениями переменных, которые должны определиться как решение задачи.

5. Убедились, что все параметры выставлены правильно и перешли к решению задачи.

Рисунок 2 – Решение задачи в Excel

Из таблицы видно, что в оптимальном решении стул = В2=3, кресло = С2 =2. При этом максимальная прибыль будет составлять D5= 36, количество использованных ресурсов равно: наим1=D8=122, наим2=D9=99, наим3= D10 =68.   Таково оптимальное решение рассматриваемой задачи распределения ресурсов.

Вывод: научились решать задачи оптимизации средствами табличного процессора Excel.

Задание 7. Решение задач оптимизации с использованием Mathcad.

Дано:

Пусть цех малого предприятия должен изготовить 100 изделий трех типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 20 штук. На изделия уходит соответственно 4, 3.4 и 2 кг металла при его общем запасе 340 кг, а также по 4.75, 11 и 2 кг пластмассы при ее общем запасе 700 кг. Сколько изделий каждого типа х1, х2 и х3 нужно выпустить для получения максимального объема выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции 4, 3 и 2 рубля?

Решение.

Для поиска значений переменных х1,х2,…хn, при которых некоторая функция f(x1,x2,…xn) имеет максимальное или минимальное значение, используются функции

Maximize(f,x1,x2,…xn) и Minimize(f,x1,x2,…xn).

Обе эти функции реализованы достаточно универсальными алгоритмами оптимизации, которые не требуют вычисления производных указанной целевой функции f(x1,x2,…xn), что не только упрощает запись алгоритмов, но и позволяет решать задачи, в которых вычисление производных по тем или иным причинам невозможно.

Эти функции должны использоваться в составе блока решения, открываемого директивой Given, и возвращают вектор неизвестных, при котором заданная функция имеет максимальное или минимальное значение соответственно. Внутри блока могут быть ограничительные условия в виде равенств или неравенств. Перед блоком решения нужно задать начальные значения искомых переменных. Чем они ближе к верному решению, тем быстрее будет получен правильный результат.

Рисунок 3 – Решение задачи в среде Mathcad

Изделий каждого типа х1=56, х2=20 и х3=24 нужно выпустить для получения максимального объема выпуска в денежном выражении.

Вывод: Научились решать задачи оптимизации с использованием Mathcad.

Задание 8. Решение задачи о назначении в Microsoft Excel.

Дано:

Отдел кадров предприятия устроил конкурсный набор специалистов на две вакантные должности. На эти новые места (НМ) претендуют 3 прежних сотрудника (ПС), уже работающие в других отделах, и 4 новых сотрудника (НС). Номера прежних мест являются номерами прежних сотрудников. Отдел кадров оценил по десятибалльной шкале компетентность новых сотрудников и прежних сотрудников 0для работы и на новых местах, и на прежних местах (ПМ), то есть занимаемых прежними сотрудниками. Необходимо учесть, что руководство предприятия предпочитает, чтобы прежние сотрудники не претендовали на места друг друга. Необходимо распределить сотрудников по должностям наилучшим образом.

Номера сотрудников и мест их работы для конкретного варианта Таблица 13
№ варианта	Новые сотрудники (НС)	Места работы прежних сотрудников (ПМ)	Новые места (НМ)
6	2, 4, 6, 8	3, 4, 6	1, 3

Решение.

Исходя из выбранных данных, составляем матрицу:

Таблица 14

	НМ1	НМ3	ПМ3	ПМ4	ПМ6
НС2	5	8	4	5	8
НС4	7	7	6	8	5
НС6	8	9	8	7	8
НС8	7	8	9	6	8
ПС3	6	6	6	0	0
ПС4	7	6	0	8	0
ПС6	4	6	0	0	5

Составим транспортную модель задачи о назначении, в которой требуется найти максимум целевой функции. Предварительно задачу о назначениях нужно сбалансировать. В рассматриваемом примере эта процедура выполняется добавлением двух столбцов (две фиктивные вакансии) с нулевыми результатами компетентности.

Таблица 15

Претендент, P1	Вакансии, V1							Количество претендентов
	V1 (НМ1)	V2 (НМ3)	V3 (ПМ3)	V4 (ПМ4)	V5 (ПМ6)	V6 (МФ1)	V7 (МФ2)
P1(НС2)	5	8	4	5	8	0	0	1
P2(НС40	7	7	6	8	5	0	0	1
P3(НС6)	8	9	8	7	8	0	0	1
P4(НС8)	7	8	9	6	8	0	0	1
P5(ПС3)	6	6	6	0	0	0	0	1
P6(ПС4)	7	6	0	8	0	0	0	1
P7(ПС6)	4	6	0	0	5	0	0	1
Количество вакансий	1	1	1	1	1	1	1

Решение задачи в Excel.

Рисунок 4 – Решение задачи в Excel

Получили оптимальное распределение. Возможно, оно не является единственным. Таким образом, наилучшее распределение работников по должностям имеет вид: НС2 не берут на работу, НС4 на ПМ6, НС6 на НМ3, НС8 наПМ3, ПС3 на НМ1, ПС4 на ПМ4, ПС6 не берут.

Вывод: научились решать задачи о назначении в Microsoft Excel.