Задание 5. Решение транспортной задачи с применением трех методов нахождения опорных планов.

Дано:

Завод имеет три цеха – А, В, С и четыре склада – 1; 2; 3; 4. Цех А производит 30 тысяч штук изделий, цех В – 40; цех С – 20 тысяч штук изделий. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад 1 – 20 тысяч штук изделий; склад 2 – 30; склад 3 – 30 и склад 4 – 10 тысяч штук изделий. Стоимость первозки 1 тысячи штук изделий из цеха А на склады 1, 2, 3, 4 – соответственно (д.е): 20, 30, 40, 40; из цеха В – соответственно 30, 20, 50, 10; а из цеха С – 40, 30, 20, 60.

Решение.

Стандартная транспортная задача представляет собой задачу разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в несколько пунктов назначения. Величина транспортных расходов при этом прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Таблица транспортной задачи в общем виде:

Таблица 7

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы продукции
	В1	В2	В3	В4
А1	X11 C11	X12 C12	X13 C13	X14 C14	а1
А2	X21 C21	X22 C22	X23 C23	X24 C24	а2
А3	X31 C31	X32 C32	X33 C33	X34 C34	а3
Потребность	b1	b2	b3	b4	а1+а2+ а3= b1+ b2+ b3+ b4

а_i – запас продукции в пункте отправления А_i ;

b_j – спрос на продукцию в пункте назначения В_j ;

С_ij – тариф перевозки единицы продукции из пункта отправления А_i в пункт назначения В_j.

Х_ij – количество перевозимой продукции, из пункта отправления в пункт назначения.

L(X) – транспортные расходы на перевозку всей продукции.

Преобразовав таблицу по нашему варианту получим:

Таблица 8

Цеха	Склады				Производительность
	1	2	3	4
А	20	30	40	40	30000
В	30	20	50	10	40000
С	40	30	20	60	20000
Пропускная способность	20000	30000	30000	10000	90000

Существуют 3 метода нахождения опорных планов:

1. Метод северо-западного угла.

На каждом шаге метода северо-западного угла из всех не вычеркнутых клеток выбирается самая левая и верхняя клетка.

Таблица 9

Цеха	Склады				Производительность
	1	2	3	4
А	20000 20	10000 30	40	40	30000
В	30	20000 20	20000 50	10	40000
С	40	30	10000 20	10000 60	20000
Пропускная способность	20000	30000	30000	10000	90000

Затем записываем матрицу и рассчитываем расходы на перевозку

2 0000 10000 0 0

0 20000 20000 0

0 0 10000 10000

L(Х) = 20000∙20+10000∙30+20000∙20+20000∙50+10000∙20+10000∙60 = 2900000 рублей.

2. Метод минимального элемента.

На каждом шаге этого метода из всех не вычеркнутых клеток транспортной матрицы выбирается клетка с минимальной стоимостью перевозки.

Таблица 10

Цеха	Склады					Производительность
	1	2	3	4
А	20000 20	30	10000 40	40	30000
В	30	30000 20	50	10000 10	40000
С	40	30	20000 20	60	20000
Пропускная способность	20000	30000	30000	10000	90000

2 0000 0 10000 0

0 30000 0 10000

0 0 20000 0

L(X)= 20000∙20+10000∙40+30000∙20+10000∙10+20000∙20= 1900000 рублей.

3. Метод Фогеля.

На каждом шаге метода Фогеля для каждой строки вычисляются штрафы как разность между двумя наименьшими тарифами строки и столбца. Таким же образом вычисляются штрафы для каждого столбца. После чего выбирается максимальный штраф из всех штрафов строк и столбцов. В строке или столбце, соответствующем выбранному штрафу, для заполнения выбирается не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом.

Если существует несколько одинаковых по величине максимальных штрафов в матрице, то в соответствующих строках или столбцах выбирается одна не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом.

Если клеток с минимальным тарифом так же несколько, то из них выбирается клетка с максимальным суммарным штрафом, т.е. суммой штрафов по строке и столбцу.

Цеха		Склады							Производительность		Штрафы строк
		1		2	3	4					1		2		3
А		20000 20		30	10000 40	40			30000		10		10		10
В		30		30000 20	50	10000 10			40000		10		10		10
С		40		30	20000 20	60			20000		10		10		-
Пропускная способность		20000		30000	30000	10000			90000
Штрафы столбцов	1	10	10		20		30
	2	10	10		20		-
	3	10	10		10		-

Таблица 11

20000 0 10000 0

0 30000 0 10000

0 0 20000 0

L(X) = 20000∙20+10000∙40+30000∙20+10000∙10+20000∙20= 1900000 рублей.

Вывод: решив транспортную задачу тремя методами, можно сделать вывод, что в нашем случае метод северо-западного угла не эффективный, так как расходы на перевозку товаров велики. А рассмотрев метод минимального элемента и метод Фогеля, в нашем случае, разницы не обнаружено, то есть независимо от того какой метод из двух последних мы выберем, план перевозок будет оптимальным.