3. Задание.
Задание 8. Свободные колебания тока в электрическом колебательном контуре описываются дифференциальным уравнением
,
где
- ток,
- индуктивность катушки,
- сопротивление потерь контура,
- емкость конденсатора. Предполагается,
что индуктивность катушки зависит от
протекающего через нее тока:
,
где
- коэффициент.
Рассчитайте и
постройте график зависимости
,
охватывающий не менее пяти периодов
колебаний, для начальных условий
и
мА при
.
Остальные параметры указаны в таблице.
Таблица 1. Варианты задания 8.
Рис. 1. Схема электрической цепи.
4. Решение задания в MathCad.
В системах MathCAD имеются удобные в практическом применении средства для решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и систем этих уравнений. Для этого предусмотрен ряд встроенных функций (rkfixed, odesolve).
Решение уравнения методом Рунге-Кутта с помощью оператора Odesolve. Встроенная функция odesolve(x, x2,[m]) обеспечивает решение одного обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта с постоянным (по умолчанию) или адаптивно вычисляемым системой шагом интегрирования. Формат функции odesolve предполагает указание в числе ее аргументов переменной интегрирования, ее правого граничного значения и числа точек, в которых будет найдено решение, то есть odesolve(x, x2,[m]), где квадратные скобки означают, что указание числа точек, в которых ищется решение, не обязательно. Результатом применения odesolve служит функция у(х), аргумент которой определен на интервале (xl, х2). Эта функция может быть непосредственно использована для построения графика и вывода ее числового значения при фиксированном значении аргумента.
Решение
уравнения методом Рунге-Кутта с помощью
оператора rkfixed.
Встроенная
функция rkfixed
(y0,t0,tk,N,f)
обеспечивает решение уравнений методом
Рунге-Кутта с постоянным шагом
интегрирования, равным (tk
– t0)/N.
При ее использовании следует учесть,
что предварительно в документе MathCAD
должны быть введены: векторная функция
f(t,y)
с указанием ее аргументов и начальный
вектор состояний. Результаты решения
задач интегрирования систем дифференциальных
с помощью rkfixed
формируются системами MathCAD
в виде (l+
1)
* (п
+ 1)
- матрицы (таблицы), первый столбец
которой содержит значения аргументов
от t0
до tk,
а остальные п
ее
столбцов образуются значениями элементов
вектора у
переменных состояний исследуемой
системы. Таким образом, число элементов
каждого 
из
столбцов результирующей матрицы
определяется параметром l,
введенным
в качестве аргумента соответствующей
функции.
4.1. Метод Эйлера.
Рис. 2. Начальные данные и понижение порядка уравнения.
Рис. 3. Запуск решения по методу Эйлера.
Рис. 4. Точки решения уравнения.
Рис. 5. График зависимости .
Колебания, протекающие по закону косинуса:
,
где
– начальная амплитуда (она же является
максимальной),
- коэффициент затухания,
- начальная фаза колебаний,
– циклическая частота колебаний (число
колебаний за
секунд),
- механическая частота колебаний (число
колебаний в единицу времени – в секунду),
- период колебаний (время, за которое
совершено одно полное колебание (на
графике – расстояние между двумя
соседними максимумами функции). По
графику можно вычислить:
А,
с,
Гц,
Гц.
График зависимости тока от времени (рис. 5) представляет собой гармонические затухающие колебания. Максимальной амплитудой является начальное значение тока. Убывание тока происходит потому, что часть его рассеивается вместе с теплом.
Рис. 6. Уменьшение шага решения.
Рис. 7. Новые точки решения уравнения.
Рис. 8. Новый график зависимости .
Колебания, протекающие по закону косинуса:
. По графику можно вычислить:
А,
с,
Гц,
Гц.
На рис. 8 наблюдаются колебания, аналогичные колебаниям на рис. 5, что вполне очевидно, т.к. используется один метод, но с разным значением шага интегрирования.
Рис. 9. Вычисление погрешности метода Эйлера.