Свойства степени с рациональным показателем.
13. Степень с действительным показателем
Пусть
дано положительное число
и
произвольное действительное число
.
Число
называется
степенью, число
—
основанием степени, число
—
показателем степени.
По определению полагают:
.
.
,
.
Если
и
—
положительные числа,
и
—
любые действительные числа, то справедливы
следующие свойства:
.
.
.
.
.
.
14.
Логари́фм числа
по
основанию
(от
греч.
λόγος —
«слово», «отношение» и ἀριθμός —
«число»[1])
определяется[2]
как показатель
степени,
в которую надо возвести основание
,
чтобы получить число
.
Обозначение:
,
произносится: "логарифм
по
основанию
".
Из
определения следует, что нахождение
равносильно
решению уравнения
.
Например,
потому
что
Вычисление
логарифма называется логарифмированием.
Числа
чаще
всего вещественные,
но существует также теория комплексных
логарифмов.
Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»[4].
Свойства
Основное логарифмическое тождество
Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество[7]:
Следствие:
из равенства двух вещественных логарифмов
следует равенство логарифмируемых
выражений. В самом деле, если
,
то
,
откуда, согласно основному тождеству:
15. Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.
Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные.
Вещественные (действительные) числа - это своего рода математическая абстракция, служащая для представления физических величин. Такие числа могут быть интуитивно представлены как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа состоят из более простых объектов таких, как целые и рациональные числа.
16. Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Здесь a и b – действительные числа, а I – число нового рода, называемое мнимой единицей.
Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом.
С
алгебраической формой комплексного
числа мы уже познакомились,
–
это и есть алгебраическая форма
комплексного числа.