3.8. Задача Майера.

Постановка задачи.

Требуется определить необходимое условие существования экстремали функционала

. (3.110)

При наличии ограничения в форме

. (3.111)

Предполагается, что в настоящий момент времени при t0, x(t0) - задано, а при t1, x(t1) - неизвестно.

Решение задачи.

Вводится дополнительная переменная (t) и конструируется интеграл.

(3.112)

(3.113)

Очевидно, что экстремали функционала (3.110) и функционала (3.113) совпадают.

Предполагается, что функция x(t) претендует на экстремум функционала. Проварьируем ее.

. (3.114)

. (3.115)

. (3.116)

Из первой вариации функционала  следует, что

, (3.117)

. (3.118)

Делаем замену:

(3.119)

(3.120)

Получаем

(3.121)

(3.122)

Таким образом задача Майера может быть решена, как задача Эйлера для функции F*, в которой значение сопряженной переменной в крайней граничной точке определяется в виде (3.122).

3.9. Задача Больца.

Задача Больца состоит в определение экстремали составного функционала.

(3.123)

Эту задачу чаще всего сводят к задаче Майера. Возможно и сведение к задаче Эйлера.

Вводим новую переменную :

, (3.124)

. (3.125)

Тогда

. (3.126)

Полученный функционал задачи Майера выглядит следующим образом:

. (3.127)

3.10. Решение уравнения состояния для линейного объекта.

Задан объект

(3.128)

.

- известно, - задано на интервале .

Найти решение .

Решение.

, (3.129)

Предполагаем, что решение может быть найдено в виде

, (3.130)

где фундаментальная матрица.

, (3.131)

, (3.132)

, (3.133)

где

. (3.134)

Отсюда

. (3.135)

3.11. Некоторые свойства фундаментальной матрицы.

1. . (3.136)

2. . (3.137)

3. Положим , . Тогда . (3.138)

(3.139)

(3.140)

3.12. Методы получения фундаментальных матриц.

1. Метод, основанный на непосредственном интегрировании уравнения.

(3.141)

2. Метод, основанный на разложение фундаментальной матрицы в ряд.

(3.142)

3. Метод, основанный на диаганализации исходного уравнения состояния путем введения другого базиса.

4. Метод, получения фундаментальной матрицы на основе обратного преобразования Лапласа.

3.13. Необходимое условие оптимальности в задачи управления линейным объектом первого порядка. Функция Гамильтона.

Постановка задачи.

Задан линейный объект первого порядка

, (3.143)

Заданы левая и правая граничные точки :

x(0)=1, x(t1)=0. (3.144)

Задан функционал

. (3.145)

Управление u(t) неограниченно.

Решение задачи.

1. Определяется соотношение между оптимальным и неоптимальным значениями функционала.

2. Определяется дифференциальное уравнение для вариационного состояния.

3. Определяется ограничение на вариацию управления.

4. Определяется функция Гамильтона.

5. Определяется связь между значениями функционала и функцией Гамильтона.

6. Определяется вариация функционала.

7. Формируется теорема о необходимых условиях существования оптимального управления.

1. Предполагаем, что оптимальное управление u*(t) существует. Подставляем u*(t) в уравнение (1) и находим оптимальную траекторию х*(t). Отсюда находим функционал I(u*(t)). Аналогично все проделываем и для неоптимального управления.

I(u*(t))  I(u(t)) (3.146)

Рис. 3.4. Оптимальные и неоптимальные управления и траектории.

2. Вариация состояния :

(3.147)

(3.148)

(3.149)

3. Ограничение на вариацию управления.

Решение уравнения состояния.

Начальное и конечное состояние вариации состояния : (0)=0, (t1)=0.

По аналогии определения уравнения состояния на основе фундаментальной матрицы

(3.150)

определяем уравнение вариации управления.

. (3.151)

Ограничение на вариацию управления определяется в виде

, (3.152)

. (3.153)

Ограничение может быть представлено, например, в виде

. (3.154)

(3.155)

Рис. 3.5.

Недопустимо представление ограничения в виде (рис.3.6).

( 3.156)

Рис. 3.6.

4. Определение функции Гамильтона.

Вводим функцию (t) и конструируем интеграл.

(3.157)

(3.158)

Функция Гамильтона :

(3.159)

5. Связь между значениями функционала и функцией Гамильтона.

(3.160)

6. Вариация функционала.

(3.161)

(3.162)

(3.163)

(3.164)

(3.165)

Из системы (3.165) вытекает теорема об необходимых условиях существования оптимального управления.

Если сигнал u*(t) является оптимальным управлением для объекта, который переводит его из состояния х(0)=1 в состояние х(t1)=0, то необходимыми условиями существования этого управления будет следующие.

1. На траекториях оптимального управления траектория х(t) и сопряженная переменная (t) должны определяться из решения следующей канонической системы

(3.166)

2. На траекториях оптимального управления функция Гамильтона достигает своих экстремальных ( максимальных ) значений определяющихся из условия

(3.167)

Примечание :

1) Теорема справедлива для неограниченных управлений, так как в общем случае уравнение (3.167) не имеет общей силы.

2) Функция Н достигает максимума поскольку

(3.168)

Рис. 3.7. Зона ограничения управления.

В литературе иногда вместо принципа максимума идет речь о принципе минимума.

(3.169)

Рис. 3.8. Принцип минимума.

На траектории оптимального управления функция Гамильтона постоянна. Это значит, что

(3.170)

(3.171)