3.3. Экстремум функционала при наличии ограничений в форме дифференциальных уравнений.

Постановка задачи.

Требуется определить необходимое условие существования экстремали функционала вида:

(3.40)

при наличии ограничения :

(3.41)

(3.42)

Решение задачи.

Проварьируем (3.40) и (3.41):

(3.43)

(3.44)

Введем :

(3.45)

(3.46)

(3.47)

В точках вариация , отсюда следует

(3.48)

(3.49)

(3.50)

(3.51)

(3.52)

По аналогии с ранее рассмотренными задачами при наличии нескольких ограничений:

(3.53)

Если имеем уравнение объекта

(3.54)

функционал

(3.55)

В вариационных методах задача переформулируется: ставится задача определения экстремума функционала при наличии ограничений в форме дифференциальных уравнений. Для этого вводится новая функция:

(3.56)

(3.57)

(3.58)

3.4. Некоторые сведения из алгебры матриц и квадратичных форм.

1. Вектор-столбец

(3.59)

2. Вектор-строка

(3.60)

3. Умножение матриц

4. Если

то

5. Квадратичные формы:

(3.61)

(3.62) или

(3.63) где - скалярные скобки, а - скалярное произведение на .

Можно записать

(3.64)

где Q - некоторая матрица (чаще всего симметричная).

При формировании функционала подинтегральные функции и терминальные составляющие должны сохранять свой знак при всех значениях вектора состояния и управления. Тогда матрица Q обладает определенным свойством (положительная определенность).

Положительная определенность матрицы Q означает, что квадратичная форма, основанная на ее основе больше нуля при и равна нулю при , то есть

(3.65)

Запись Q > 0 означает что матрица Q - положительно-определенная, а не то что все элементы матрицы больше нуля.

Для определения положительной определенности матрицы применяют критерий Сильвестра: для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы диагональные миноры матрицы Q были положительными:

и т. д.

6. Правило дифференцирования квадратичных форм.

(3.66)

Дифференцирование векторной функции по скалярному аргументу:

(3.67)

(3.68)

(3.69)

(3.70)

(3.71)

(3.72)

(3.73)

Если Q^T = Q то:

(3.74)

3.5. Оптимальное управление линейным объектом по минимуму квадратичного функционала.

Постановка задачи.

Задан объект :

, . (3.75)

Предполагается, что xk(t0) - известно, xk(t1) - неизвестно, u(t) - скалярное, единственное, неограниченное управление.

Задан функционал :

, (3.76)

(3.77)

Решение задачи.

Запишем уравнение Эйлера :

, (3.78)

где

(3.79)

.

В данной задаче пространство состояния у объекта расширяется на единицу за счет введения дифференциального уравнения для управления.

(3.80)

(3.81)

Для

, (3.82)

. (3.83)

Поскольку правая граничная точка не фиксирована, то в силу естественных граничных условий имеем :

. (3.84)

Отсюда

(3.85)

Оптимальное управление :

(3.86)

В результате, после подстановки из (3.81) и (3.86) в (3.78) и (3.75) соответственно, получим следующую систему.

(3.87)

Данная система является канонической системой уравнений определяющих движение оптимальной системы. Если известно решение этой системы, то можно определить оптимальное управление и оптимальную траекторию.

Для интегрирования этой системы нужны начальных условий:

Но известны значения сопряженных переменных в правых граничных точках из следующего условия:

. (3.88)

Отсюда из (3.81) .

Таким образом мы имеем классическую краевую задачу, когда можно интегрировать систему дифференциальных уравнений, для которой задано начальных условий для части переменных и n значений для оставшихся переменных в правых граничных точках.

Рис. 3.1. Траектория движения и кривая,

определяющая сопряженную переменную .