2.7. Вторая вариация функционала. Условие Лежандра.

- минимум функционала; - максимум функционала.

Рассматриваем функционал вида:

(2.82)

(2.83)

(2.84)

(2.85)

(2.86)

(2.87)

(2.88)

(2.89)

(2.90)

(2.91)

(2.92)

при (2.93)

3. Определение экстремали функционала при наличии ограничений.

Ранее, при определении экстремали, на поведение экстремали не накладывалось никаких ограничений. Требовалась лишь дифференцируемость функции F. На практике существует большой класс задач, в которых на поведение экстремали накладываются дополнительные ограничения.

К ним относятся:

1. Изопериметрические задачи.

2. Задачи на условный экстремум.

3. Задача при наличии ограничений в форме дифференциальных уравнений.

3.1. Изопериметрическая задача.

Постановка задачи.

Требуется определить необходимые условия существования экстремали функционала:

(3.1)

При наличии ограничения:

(3.2)

При заданных левой и правой граничных точках: .

При условии, что экстремаль функционала (3.2) не является экстремалью функционала (3.1).

К этой задаче можно отнести задачу определения оптимальной траектории при заданном запасе топлива на борту.

Решение задачи.

Определяем x(t).

Варьируем:

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Полагаем, что независимой переменной является параметр а . Поскольку и - константы, то

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

Вводим:

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

Для решения изопериметрической задачи необходимо использовать уравнение Эйлера, в котором производят замену (3.16). При этом, при заданных граничных точках, в решении будет присутствовать константа . То есть количество неопределенных величин в решении будет равно трем. Они могут быть найдены из условия прохождения искомой экстремали через заданные точки и заданную величину I₁.

Пример 3.1.

Задан функционал:

;

Наложено ограничение:

;

Заданы левая и правая граничные точки: .

Решение задачи.

; ; ;

; ;

Пример 3.2.

Задан функционал:

Наложено ограничение:

;

Заданы левая и правая граничные точки:

Решение задачи.

;

3.2. Условный экстремум функционала.

Постановка задачи.

Требуется определить необходимые условия существования экстремали функционала:

(3.18)

при наличии ограничения:

(3.19)

при условии прохождения экстремали через две заданные точки.

Геометрический смысл: на поверхности (3.19) надо найти кривую, которая проходит через две заданные точки, на которой (3.18) принимает экстремальное значение.

Решение задачи.

1. Предположим:

(3.20)

(3.21)

Подставим (3.20) и (3.21) в (3.18) и получим:

(3.22)

, (3.23) где

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

Из (3.19) следует:

(3.28)

(3.29)

Обозначим:

(3.30)

(3.31)

В системе уравнений (3.31) как и в изопериметрической задаче - это дополнительная или сопряженная переменная. В отличие от изопериметрической задаче в данном случае сопряженная переменная является функцией времени.

(3.32)

(3.33)

(3.34)

Вместо системы (3.31) запишем систему:

(3.35)

Таким образом, задача на условный экстремум решается как задача Эйлера для нового функционала содержащего . Полученное решение этих двух задач идейно совпадает с решением задачи математического программирования по определению экстремума функции

(3.36)

при наличии ограничений в форме равенства

. (3.37)

Как известно, в этом случае решение находится как экстремум для новой функции

(3.38)

где - множитель Лагранжа.

При наличии нескольких ограничений новая функция будет иметь вид:

(3.39)

Такая же конструкция получается при наличии нескольких ограничений в задаче на условный экстремум функционала.