2.6. Общая форма первой вариации.

В рассмотренных ранее задачах фиксировались либо левая и правая граничные точки, либо только левая, либо параметры t₀ и t₁.

На практике часто встречаются задачи, когда не заданы точно параметры t₀ и t₁, то есть возможны вариации левой и правой граничных точек по горизонтали.

Рис. 2.8. Общая форма первой вариации.

Функционал задан в виде

(2.53)

Проварьируем причем .

- функции .

- изохронные вариации

- полные вариации

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

(2.62)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

(2.66)

(2.67)

Частные случаи рассмотрены ранее в задачах: 1. Задача Эйлера.

(2.68)

2. Естественные граничные условия.

(2.69)

2.6. Уравнение Эйлера–Пуассона.

Уравнение Эйлера–Пуассона определяет необходимые условия существования экстремали для функционала вида

(2.70)

Рассмотрим случай, когда :

(2.71)

Предполагается, что функция F дифференцируема по всем своим переменным. При этом левая и правая граничные точки искомой экстремали зафиксированы:

(2.72)

(2.73)

(2.74)

(2.75)

(2.76)

(2.77)

(2.78)

(2.79)

Если :

(2.80)

Если n - произвольное:

(2.81)

Пример 2.5.

Используя уравнение Эйлера определить стационарную обратную связь регулятора для объекта первого порядка:

минимизирующую функционал:

при фиксированной левой граничной точке:

Рис. 2.9. Объект управления первого порядка со стационарным регулятором.

Решение задачи.

1. Определить из уравнения объекта управление, подставить его в уравнение функционала и привести последний к виду функционала задачи Эйлера.

2. Определить экстремаль, полученного фнкционала при условии, что:

3. Определить оптимальное управление, используя решение и его производную.

4. Определить связь между управлением и состоянием.

;

;

Пример 2.6.

Задан объект первого порядка:

.

Минимизируемый функционал:

Граничные условия:

Решение задачи.

Вывод:

1. При ограниченном времени управления коэффициент обратной связи является функцией времени. При бесконечном времени управления коэффициент обратной связи является константой.

2. Коэффициент обратной связи не зависит от начального состояния объекта управления.