1.5. Методы решения задач оптимального управления

1. Методы, основанные на вариационном исчислении.

2. Принцип максимума Понтрягина.

3. Динамическое программирование.

4. Численные методы, основанные на указанных выше трех методах.

2. Вариационные методы решения задач оптимального управления

2.1. Элементы вариационного исчисления

Если одной из основных задач математического анализа является задача определения экстремальных значений функций, то одной из основных задач вариационного исчисления является задача определения экстремалей, т.е. таких функций, которые доставляют экстремальные значения функционалов.

Задачи вариационного исчисления: 1. Задача Эйлера - Лагранжа; 2. Задача Майера; 3. Задача Больца.

Определение функции, функционала.

Говорят, что на множестве X задана функция y = f(x), если задано правило, в соответствии с которым произвольному элементу x из множества X ставится в соответствие некоторый элемент y, являющийся элементом множества Y.

Рис. 2.1. Определение функционала.

Функционалом называют функцию, заданную на множестве, элементами которого являются функции. Если в простейшем случае функция задает соответствие число-число, то функционал задает соответствие функция-число.

Примеры функционалов.

1. определенные интегралы:

Площадь криволинейной трапеции (рис 2.2).

Рис. 2.2. Площадь криволинейной трапеции.

(2.1)

Длина дуги (рис 2.3).

Рис. 2.3. Длина дуги.

(2.2)

2. Максимальное и минимальное значение функции, заданной на некоторой области.

(2.3)

(2.4)

Вариация функции и вариация функционала.

Вариацией функции называют разность между двумя близко расположенными функциями.

Рис. 2.4. Вариация функции.

(2.5)

Следует различать вариацию функции и приращение функции. Вариация функции определяется всеми значениями аргумента, а приращение определяется при фиксированном аргументе.

В вариационном исчислении вариацию функции чаще всего записывают в виде:

(2.6)

Предположим, что задан функционал:

(2.7)

Тогда, взяв функцию x(t), мы получим вполне определенное значение функционала. Можно вычислить и следующий функционал:

(2.8)

Вводят понятие приращения функционала:

(2.9)

Имеем:

(2.10)

Запишем разложение (2.10) в окрестности точки :

(2.11)

(2.12)

Первая вариация функционала:

(2.13)

Вторая вариация функционала:

(2.14)

Первый дифференциал функции:

(2.15)

Первая вариация функционала является аналогом первого дифференциала функции.

Непрерывность функционала.

Определение непрерывности функционала практически совпадает с соответствующим определением непрерывности функции.

Экстремум функционала.

Говорят, что на функции , являющейся элементом множества X, функционал достигает своего минимального (максимального) значения, если значение функционала, вычисленное для всех других функций x(t) из множества X больше (меньше) значения .

Т.е. имеем минимум если:

(2.16)

и максимум если:

(2.17)

Как и при анализе функций различают локальные и глобальные экстремумы функционала.

Необходимое условие существования экстремума функционала.

Если на функции , являющейся внутренним элементом множества X, функционал достигает своего экстремального значения, то на функции первая вариация функционала равна нулю .

Достаточное условие существования экстремума функционала.

Пусть функционал , имеющий первую и вторую вариации, на функции обладает следующими свойствами:

, (2.18)

причем . Тогда на функции функционал достигает своего минимального значения.

Если же

(2.19)

то на функции функционал достигает своего максимального значения.

Основная лемма вариационного исчисления.

Пусть интеграл вида

, (2.20)

где - некоторая непрерывная функция, обращается в ноль, для всякой непрерывной, вместе со своей производной, функции , причем , тогда для всех .