1. Введение

1.1. Математическая модель системы (объекта управления)

Рис. 1.1. Структурная схема системы управления.

Объект управления n-го порядка описывается следующей системой уравнений.

(1.1)

или, в матричной форме:

(1.2)

где

(1.3)

Информационно–измерительный блок также может быть динамической системой, которая описывается соответствующей системой дифференциальных уравнений.

(1.4)

Часто информационно–измерительный блок представляется в виде системы нелинейных алгебраических уравнений.

(1.5)

Программный блок определяет как требуемые функции, определяющие требуемое состояние объекта, так и алгоритмы. Он функционирует на основании программы, заложенной оператором. В принципе, программный блок может быть связан и с информационно–измерительным блоком, поскольку алгоритм управления и программные функции p_i(t) могут изменятся в зависимости от состояния объекта.

1.2. Математическая модель линейного объекта

Линейный объект описывается следующими уравнениями:

(1.6)

(1.7)

1.3. Постановка общей задачи оптимального управления

Задан объект:

(1.8)

Исходное состояние:

(1.9)

Конечное состояние:

(1.10)

Ограничение на состояние:

(1.11)

Ограничение на управление:

(1.12)

Критерий оптимальности:

(1.13)

Для объекта управления заданного уравнением состояния (1.8) требуется определить ограниченное по условию (1.12) управление такое, чтобы при переходе объекта управления из состояния (1.9) в состояние (1.10) по ограниченным уравнением (1.11) траекториям, критерий оптимальности (1.13) принимал свое наибольшее или наименьшее значение.

1.4. Частные случаи общей задачи оптимального управления

1. Задачи оптимального быстродействия.

Задан объект управления:

(1.14)

Заданы начальное и конечное состояния:

(1.15)

(1.16)

Заданы ограничения на состояние и управление:

(1.17)

(1.18)

Время движения t₁- неизвестно;

Критерий оптимальности:

(1.19)

Таким образом в задачах оптимального быстродействия минимизируется время движения.

2. Задача на минимум интегрального критерия.

Рис. 1.2. Задача на минимум интегрального критерия

Введем в рассмотрение ошибки:

(1.20)

(1.21)

Критерий оптимальности:

(1.22)

3. Терминальная задача.

Задано начальное состояние x(t₀), время движения t₁. Конечное состояние x(t₁) неизвестно. Критерий оптимальности:

(1.23)

4. Задача на минимум комбинированного функционала.

(1.24)

Для n-мерного пространства:

(1.25)

5. Задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов.

(1.26)

Если F=Q=R=1 и n=1 то:

(1.27)