28.Аналитическое выравнивание ряда динамики.

При этом методе основная закономерность ряда динамики определяется как функция y_t = f(t), где y_t - уровни динамического ряда, вычисленные по соответст­вующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Уровень ряда изменяется от периода к периоду не потому, что прошло какое-то время, а потому что в течение этого времени действовали различные факторы, с разной интенсивностью.

С помощью этого метода могут выравниваться уровни ряда как содержащие, так и не содержащие сезонную компоненту. Однако если последняя имеется, то уровни выравниваемых интервальных рядов должны быть не менее годовых, т.к. в годовых и больших уровнях сезонные компоненты нивелируются. Уровни моментных рядов с сезонной компонентой должны относится к одинаковым моментам года, в этом случае сезонные колебания также не оказывают влияния на динамику. Уров­ни рядов, не содержащие периодических колебаний, могут относится к любым пе­риодам.

В зависимости от исходных данных для описания основной тенденции ряда могут быть выбраны разные типы функций. Если для ряда характерны более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, выравнивание производят по пря­мой; если постоянны темпы роста - по показательной кривой (экспоненте);.если по­стоянно ускорение (вторые абсолютные разности) - по параболе второго порядка.

Покажем методику аналитического выравнивания динамического ряда на примере прямой.

Применительно к динамическим рядам уравнение прямой имеет вид:

y_t^{^} = a + bt, где y_t^{^}_: - теоретические уровни, рассчитанные по уравнению;

t - порядковый номер момента времени или периода. Величина нам известная.

а, b - параметры прямой.

Параметры а и в в соответствии с методом наименьших квадратов находим из решения системы уравнений:

na + b∑t = ∑y

a∑t + b∑t² = ∑y t

n - число уровней ряда

t нумеруем следующим образом: для четного

n: -5; -3; -1;+1; +3; +5 (при n = 6)

n:-3;-2;-1;0;+1;+2;+3 (при п = 7)

В обоих случаях ∑t = О,

тогда a = ∑y/n; b = ∑y t/∑t²

При равномерном изменении скорости (стабильном ускорении) выравнивание производится по параболе второго порядка:

y_t^{^} = a + bt + ct²

na + b∑t + c∑t² = ∑y

a∑t + b∑t²+ c∑t³ = ∑y t

a∑t² + b∑t³+ c∑t⁴ = ∑y t²

Найденные теоретические уровни динамического ряда отражают детермини­рованную составляющую ряда, состоящую из одной основной тенденции f(t) + S.

Разность между у и у_t^{^} - характеризует случайную составляющую. Она будет тем меньше, чем точнее выбранная функция воспроизводит динамику явления. Ошибка уравнения:

где n - число уровней

т - число параметров уравнения.

Чем точнее уравнение воспроизводит моделирует ряд динамики тем больше его прикладное значение. В частности, оно может быть использовано для интерпо­ляции и экстраполяции.

Интерполяция - приблизительный расчет недостающих уровней внутри од­нородного периода, когда известны уровни, лежащие по обе стороны неизвестного.

Экстраполяция. Приблизительный расчет уровней ряда динамики за преде­лами анализируемого периода, возможна экстраполяция в прошлое и будущее. Экстраполяция на будущее является одним из статистических методов про­гнозирования. Основным условием прогнозирования указанным методом является сохранение в будущем условий, определявших тенденцию развития явления в прошлом.

Оценка точности прогнозов производится с помощью доверительных интер­валов прогноза:

y_t^{^} - t_{альфа;n-m}*S *K<= y_прог<= y_t^{^} + t_{альфа;n-m}*S *K

t_{Альфа;n-m} - табличное значение t- критерия Стьюдента с n-т степенями свободы и уровнем значимости альфа

К - зависит от n и L

L – период упреждения