Свойства сферических треугольников
1. Каждая сторона и угол сферического треугольника меньше 180о (по определению).
2. Геометрия на поверхности шара является неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0о и 360о, сумма углов заключена между 180о и 540о.
3. В каждом сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
4. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны.
5. Сумма любых двух углов меньше, третьего, увеличенного на 180о.
6. Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии) тремя элементами: 1) тремя сторонами, 2) тремя углами, 3) двумя сторонами и заключенным между ними углом, 4) стороной и двумя прилежащими к ней углами.
7. Для каждого сферического треугольника можно определить сферические прямые, играющие роль перпендикуляров, проведенных через середины сторон, биссектрис, медиан и высот. Плоскости трех прямых каждого типа пересекаются по евклидовой прямой.
8. Для любого сферического треугольника существует описанный прямой круговой конус, содержащий три прямые линии, определяющие треугольник. Ось конуса – прямая, по которой пересекаются плоскости перпендикуляров, проведенных через середины сторон.
9. Для любого сферического треугольника существует вписанный прямой круговой конус, касающийся трех плоскостей, соответствующих сферическому треугольнику. Ось конуса – прямая, по которой пересекаются плоскости биссектрис.
Радиусы описанной и вписанной окружностей – углы, равные соответственно половинам углов при вершинах соответствующих конусов.
Полюс и поляра. Полярные треугольники. Принцип двойственности
Полярой точки A относительно сферы с центром O называется большая окружность – сферическая прямая а – полученная сечением сферы плоскостью, перпендикулярной к радиусу OA. В этом случае точка A называется полюсом сферической прямой а.
Для любого сферического треугольника можно определить полярный (параллактический) треугольник: тремя лучами, перпендикулярными к плоскостям – граням трехгранного угла (меридиана наблюдателя, круга склонения и вертикала светила).
Параллактический треугольник связывает горизонтные координаты h и А, экваториальные координаты г и б и географические координаты φ и λ места наблюдателя. Если известны три его элемента, то можно, решив его, найти остальные неизвестные, в частности географическую широту или долготу.
Два треугольника ABC и A'B'C' называются полярными относительно данной сферы, если стороны треугольника A'B'C' являются полярами соответствующих вершин треугольника ABC.
Задача.
Определите, правильно ли на схемах изображены полярные треугольники.
Свойства
Точки пересечения соответствующих сторон треугольников ABC и A'B'C' лежат на одной прямой.
Если поляра а точки А проходит через точку B, то поляра b точки B пройдет через точку A.
Поляра а и пара полюсов – диаметрально противоположных точек А, А1 – двойственные понятия.
Из двойственности поляры и полюсов следует, что стороны треугольника ABC также являются полярами соответствующих вершин треугольника A'B'C'.
Если сферический треугольник АВС полярен относительно другого АВС, то справедливо и обратное: АВС полярен к АВС.
Теорема.
Стороны одного из полярных относительно друг друга треугольников дополняют углы другого до 180о.
Таким образом, каждая теорема или формула, относящаяся к сторонам и углам треугольника, может быть преобразована в теорему или формулу об углах и сторонах полярного треугольника.
Если сферический треугольник АВС полярен сам себе, то его называют автополярным.