1.3. Эквивалентный и эффективный проценты
В практике финансового рынка процент, начисляемый по активу, задают как простой процент в расчете на год. Однако если в рамках года по активу предусмотрено начисление сложного процента, то общий результат, который получит инвестор, будет выше декларируемого. Чтобы его определить необходимо рассчитать эффективный или реальный процент.
Эффективный (реальный) процент – это процент, который получается по итогам года при начислении сложного процента в рамках года.
Эффективный процент можно определить из следующего соотношения:
где: rэф – эффективный процент,
r – простой процент в расчете на год, который задан по условиям финансового инструмента.
Тогда:
Если известен эффективный процент, то по формуле, которая вытекает из формулы (11), можно определить эквивалентный ему простой процент в расчете на год:
1.4. Эквивалентность непрерывно начисляемого процента и процента, начисляемого m раз в год
В финансовых расчетах может возникнуть необходимость найти эквивалентность между непрерывно начисляемым процентом и процентом, начисляемым т раз в год. Например, в формулах определения курсовой стоимости опциона используется непрерывно начисляемый процент. В то же время на финансовом рынке инвесторы оперируют главным образом ставками, предполагающими начисление процента раз в год, полгода, квартал и месяц.
Эквивалентность между двумя видами процентов можно найти, приравняв суммы, получаемые с учетом непрерывно начисляемого процента и начисления процента т раз в год, а именно:
,
где: rn – непрерывно начисляемый процент
или
Отсюда
или
Процент r можно получить следующим образом:
1.5. Комбинация простого и сложного процентов
В ряде случаев возникает ситуация, когда начисление процентов включает и сложный, и простой проценты. Например, средства вкладчика находятся на счете в банке 5 лет и 2 месяца. Проценты капитализируются (т.е. присоединяются к основной сумме счета, на которую начисляется процент) в конце каждого года. В течение года начисляется простой процент. Для такого случая сумму, которую получит инвестор, можно рассчитать по следующей формуле:
где: Рn+t – сумма, которую получит инвестор за n лет и t дней;
Р – первоначально инвестированная сумма;
t – число дней, за которые начисляется простой процент;
r – процент, начисляемый в течение года.
В зависимости от того, когда вкладчик размещает средства на счете, простой процент может начисляться также в начале периода инвестирования средств или и в начале и в конце. Суммы, которые получит вкладчик, можно рассчитать соответственно с помощью следующих формул (капитализация процентов осуществляется ежегодно):
и
2. Дисконтированная стоимость
В финансовых расчетах возникает необходимость сравнивать между собой различные суммы денег в разные моменты времени. Например, какая величина больше: 100 тыс. руб. сегодня или 1 млн. руб. через пять лет. Дело в том, что сегодня инвестор может положить 100 тыс. руб. в банк и за пять лет они принесут ему некоторый процент. Если через пять лет 100 тыс. руб. на счете вкладчика превратятся в 1 млн. руб., то можно сказать, что 100 тысяч руб. сегодня и 1 млн. руб. через пять лет – это эквивалентные, т.е. равные во времени суммы. Если вкладчик получит больше 1 млн. руб., тогда 100 тыс. руб. сегодня «стоят» больше 1 млн. руб. через пять лет.
Чтобы сравнить суммы денег во времени, их необходимо привести к единому временному знаменателю. В практике финансовых расчетов принято приводить суммы средств, которые получит инвестор, к сегодняшнему дню, т.е. начальной точке отсчета. Данную задачу решают (при начислении сложного процента) с помощью следующей формулы:
Эта формула называется
формулой дисконтированной или приведенной
стоимости. Рn
– это будущая стоимость, Р – дисконтированная
или приведенная стоимость (в литературе
в качестве синонимов используют также
термины сегодняшняя, настоящая, текущая
стоимость).
– это коэффициент дисконтирования.
При начислении сложного процента т раз в год формула принимает вид:
,
а для непрерывно начисляемого процента:
Формулы дисконтированной стоимости для простого процента:
