Часть I

1. Простой и сложный процент

1.1. Простой процент

Финансовые расчеты могут осуществляться на основе простого или сложного процента. Простой процент – это начисление процента только на первоначально инвестированную сумму.

Например, в начале года инвестор размещает на счете в банке сумму P под процент r. Через год он получит сумму P₁ которая равна первоначально инвестированным средствам плюс начисленные проценты, или

Через два года сумма на счете составит:

Аналогичным образом можно представить сумму P_n, которую вкладчик получит через n лет:

,

где: Р_n– будущая стоимость;

Р – сегодняшняя стоимость.

Если простой процент начисляется в течение периода времени, которое меньше года, формула принимает вид:

где: t – количество дней начисления процента в течение года;

Р_t – сумма, которая получается при начислении процента за 1; дней;

r – начисляемый процент.

Для сравнительного анализа финансовые расчеты следует осуществлять на основе одного временного периода, т.е. 360 или 365 дней. Поэтому возникает необходимость перерасчета величины процента с одной временной базы на другую. Это можно сделать с помощью следующих формул:

где: r₃₆₅ – ставка процента на базе 365 дней;

r₃₆₀ – ставка процента на базе 360 дней.

Если период начисления процентов измеряется в месяцах, то формулу можно представить следующим образом:

где: а – количество месяцев, за которые начисляется процент;

Р_а – сумма, которую инвестор получит через а месяцев.

1.2. Сложный процент

1. 2. 1. Начисление процента один раз в год

Сложный процент – это процент, который начисляется на первоначально инвестированную сумму и начисленные в предыдущие периоды проценты.

Отличие результатов для сложного и простого процентов возникает только со второго периода начисления. Так, при начислении в банке сложного процента раз в год вкладчик в конце года получит сумму:

Однако в конце второго года его капитал возрастет до:

В конце третьего года он составит:

Аналогичным образом можно показать, что через n лет сумма на счете вырастет до величины:

1. 2. 2. Начисление процентов несколько раз в год

Сложный процент может начисляться чаще, чем один раз в год, например, раз в полгода, квартал, месяц и т.д. В этом случае формула принимает вид:

где: m – периодичность начисления процента в течение года.

1. 2. 3. Непрерывное начисление процента

Сложный процент может начисляться очень часто. Если периодичность начисления процентов стремиться к бесконечности (m→∞), то мы получим непрерывное начисление процентов. Несмотря на то, что логически непросто представить себе частоту начисления процентов, равную бесконечности, математически возможно определить ту сумму средств, которую получит инвестор, если разместит деньги на условиях непрерывно начисляемого процента. Формула для непрерывно начисляемого процента имеет следующий вид:

где: r_n – непрерывно начисляемый процент;

n – период времени начисления процента;

е = 2,71828...

Эту формулу можно получить следующим образом:

где:

При непрерывном начислении процентов m→∞ и, следовательно, a→∞. В этом случае:

m→∞

Тогда