Матрица предшествования

Отношение предшествования можно непосредственно найти, пользуясь определением. Однако, удобнее ввести дополнительное определение. Обозначим L(u) – множество самых левых символов относительно нетерминального символа U. Формально множество L(U) определяемая формулой L(U)={ S| u=>*Sz},где z – ЛЮБАЯ строка, возможно пустая.

Или: L(u)={S| (U->Sz)v (U->U'z'^S L(U'))}

Аналогично обозначим R(u) – множество самых правых символов относительно нетерминального символа U. R(U)={ S| |U=>*zS}

Или: R(U)={S| (U->zS)v (U ->z'U'^S R(U'))}

Эти 2 определения удобны для практического поиска множеств L(U) и R(U), которые используются для выявления отношений предшествования по следующим правилам:

1. S_i S_j  (U->xS_iS_jy) (1)

2. S_i S_j  (U->xS_iDy)^S_j L(D) (2)

3. S_i S_j  (U->xCS_jy)^S_i R(C)v (U->xCDy) S_i R (C)^S_j L(D) (3)

Здесь С и D нетерминальные символы, а х и у – цепочки, возможно пустые.

Пример1: Найти L(u) и R(u) для грамматики G1:

П -> В X

В-> T

B-> B+T

T->M (4)

T->TxM

M-> U

M-> (B)

Решение: нетерминальные символы грамматики G1: П, В, Т, М. Множества L(u) и R(u) нужно построить только для этих символов.

1. Для каждого нетерминального символа U находим все правила, содержащие U в левой части. В L(U) включается самый левый символ правой части каждого правила, а в R(U) – самый правый символ.

В результате получаем:

Множества L(u) и R(u) на 1 шаге:

u	L(u)	R(u)
П В Т М	T, В М, Т u, (	T M u, )

2. Просматривается каждое полученной множестве (см. рис.). Если множество L(u) содержит нетерминальные символы u',u'',…, то это множество дополняется символами, входящими в L(u'),L(u''),… и не входящими в L(u). Аналогичным образом дополняется множество R(u).

Имеем:

u	L(u)	R(u)
П В Т М	T,B,М M,Т,u,( u, (	T,М M,u,) u, )

3. Выполнение шага 2 продолжается до тех пор, пока множества L(u) и R(u) не перестанут изменятся. В результате:

u	L(u)	R(u)
П В Т М	T,B,М,u,( T,M,u,( u, (	T,М,u,) M,u,) u, )

Окончательная таблица

Грамматика G1 не является грамматикой предшествования, т.к. из (1) и (4): ( В(входят в основу и стоят рядом), + Т, а с другой стороны из (2) и (3), и таблицы => ( B и + T, т.е. отношения предшествования для пар символов (, И и +Т неоднозначны.

Неоднозначность отношений предшествования, встречаются в грамматиках языков программирования, в следствии того, что для выделении основы в методе предшествования используется минимальный контекст: сравниваются лишь пары символов. Для устранения неоднозначности, если она появляется, нужно либо изменить грамматику, либо использовать более далёкий контекст. Так, очевидно, в контексте ( В ) и В+Т+… справедливо соответственно: ( В и + Т, поскольку возможны прямые редукции В к М и В+Т к В, то в контексте (В+Т) и … +ТхМ, напротив, справедливы отношения ( В и + Т (ввиду того, что здесь нужно выполнить прямые редукции В+Т к В и ТхМ к Т).

В данном конкретном случае формально неоднозначность отношений предшествования вытекает из того, что, с одной стороны символы (, В, а также + и Т встречаются в правых частях правил рядом, а с другой стороны B L(B) и T L(T). Если устранить рекурсивность множеств L(B) и L(T) относительно В и Т, то рассматривается грамматика станет грамматикой простого предшествования.

Заменим правила B->T и В->В+Т правилами

B->B'

B'->T

B'->B'+T,

и T->M., T->TxM правилами

T->T'

T'->M

T'->T'xM

Получим новую грамматику G'(эквивалентную):

П -> В

В-> B'

B'-> T

B'-> B'+T

T->T' (5)

T'->M

T'->T'xM

M-> u

M-> (B) – грамматика простого предшествования.

Отношения предшествования удобно записывать в виде матрицы предшествования, представляющей собой таблицу с двумя входами. Входами в таблицу являются предшествующий (S_i) и последующий (S_j) символы приводимой строки, а в ее клетках записываются отношения предшествования.

Составим матрицу предшествования для грамматики G'1.

1. Находим L(u) и R(u) по старому алгоритму.

   u	L(u)	R(u)
   П В B' Т T' М	B',T,T',М, u,( T, B', T', M, u,( T’, M, u,( M, u, (, Т' u, (	B',T,T',М, u,) T, T', M, u, ) T, M, u,) M, u, ) u, )

2. Составляем матрицу предшествования.

1. Отношения отыскиваем по (1) правилу непосредственных просмотром правых частей грамматики(4). Символы, стоящие в правой части рядом, связаны отношением .

2. Отношения отыскиваем по правилу (2) путём просмотра правых частей порождающих грамматик G'1 с использованием таблицы, содержащей описания множеств L(D). Например, из правил T'->T'xM и L(M)={u,(} =>x u и x (.

3. Отношения > находим по правилу (3) путём просмотра правых частей G'1с использованием таблицы, содержащей описания множеств L(D) и R(C).

В результате выполнения этого алгоритма получается матрица предшествования.

Sj Si

(

u

M

x

T'

T

+

B'

)

B

)

U

M

x

T'

T

+

B'

B

(