1.Модели надежности. Системы с последовательным соединением элементов. Системы с параллельным соединением элементов. Последовательно-параллельное соединение.

1. Модель с показательным распределением.

Наработка до отказа имеет показательное распределение c плотностью

и функцией распределения

где >0 - параметр распределения.

Для такого распределения функция надежности .

функция отказа равна .

При малых значениях t часто пользуются приближенными соотношениями . Средняя наработка равна

.

Интенсивность равна .

Таким образом, модель показательного распределения хорошо описывает период нормальной эксплуатации. В силу этого показательное распределение наиболее часто используется в теории надежности.

Данная модель обладает свойством, которое назовем замечательным свойством модели показательного распределения.

Пусть объект проработал без отказа время . Определим условную вероятность того, что он проработает без отказа еще время , т.е. до момента + :

Получаем, что распределение оставшегося времени наработки не зависит от того, сколько времени объект проработал до этого.

2. Модель с распределением Вейбулла.

Наработка до отказа имеет распределение Вейбулла:

где >0, >0 - параметры распределения.

При  =1 распределение Вейбулла совпадает с показательным распределением.

Для этой модели ,

где (гамма-функция),

.

График интенсивности отказов при распределении Вейбулла изображен на рисунке 2.4.

При  >1 интенсивность отказов монотонно возрастает, при  <1 - монотонно убывает.

После показательного распределения наиболее часто в теории надежности используются распределения Вейбулла.

3. Модель с нормальным распределением.

Наработка до отказа имеет нормальное распределение с плотностью

,

где m и >0 - параметры распределения.

Нормальное распределение не совсем подходит для задач теории надежности, так как случайная величина с нормальным распределением может принимать любые значения от до , а наработка до отказа - положительная величина.

Поэтому вместо нормального в теории надежности часто используют усеченное нормальное распределение, имеющее плотность

где m>0, а c>1 - нормирующий множитель, выбираемый из условия .

Усеченное нормальное распределение обычно применяют, если m<3 . В противном случае с 1,0015 и использование неусеченного нормального распределения дает достаточную точность.

Можно доказать, что в данной модели интенсивность монотонно возрастает и при больших t начинает приближаться к асимптоте (см. рис. 2.5.).

СистемА с последовательным соединением элементов

Соединение элементов называется последовательным ( в смысле надежности), если отказ любого элемента вызывает отказ системы.

Структурная схема системы с последовательным соединением элементов изображена на рисунке 3.1.

Таким образом, при последовательном соединении система работоспособна тогда и только тогда, когда работоспособен каждый ее элемент. Если - наработки до отказа каждого из элементов, то наработка до отказа всей системы .

Найдем характеристики надежности системы

Итак, для системы с последовательным соединением элементов

.

Для функции отказа системы получаем

.

Если все элементы системы обладают высокой надежностью, т.е. все , то .

Поэтому при последовательном соединении высоконадежных элементов

, .

Определим интенсивность отказов системы

Итак, 

т.е. интенсивность отказов системы с последовательным соединением элементов равна сумме интенсивностей отказов каждого элемента.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ОТКАЗОВ

Если наработка до отказа каждого элемента имеет показательное распределение, то интенсивности отказов - константы:  .

Следовательно,  .

Вывод: при последовательном соединении элементов с постоянной интенсивностью отказов интенсивность отказов всей системы также будет постоянной.

Следовательно, распределение наработки до отказа всей системы имеет показательное распределение и функция надежности равна

.

Среднюю наработку вычислим по формуле

.

Если все элементы системы имеют одинаковую интенсивность , то , где - средняя наработка каждого элемента.

Итак, при последовательном соединении n элементов с одинаковой постоянной интенсивностью отказов средняя наработка системы в n раз меньше средней наработки каждого элемента.

Система с параллельным соединением элементов

Соединение элементов называется параллельным (в смысле надежности), если система работоспособна до тех пор, пока работает хотя бы один из ее элементов.

Структурная схема системы с параллельным соединением элементов изображена на рисунке 3.2.

Таким образом, при параллельном соединении система отказывает тогда и только тогда, когда отказали все ее элементы. Если - наработки до отказа каждого из элементов, то наработка до отказа всей системы .

Найдем функцию отказов системы

Итак, для системы с параллельным соединением элементов

.

Для функции надежности системы получаем

.

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ОТКАЗОВ

Пусть все элементы системы с параллельным соединением имеют одинаковую показательную надежность . Тогда

.

Частота и интенсивность отказов системы будут равны

;

.

Таким образом, при параллельном соединении элементов с постоянной интенсивностью отказов интенсивность отказа системы уже не будет постоянной, т.е. распределение наработки до отказа системы не будет показательным.

Запишем интенсивность отказов системы в следующем виде

Так как q(t) - возрастающая функция, q(0)=0, , то:

а) - возрастающая функция;

б) .

График интенсивности отказов показан на рисунке 3.3.

Найдем среднюю наработку до отказа системы с параллельным соединением.

.

Не будем считать интеграл, а для определения средней наработки используем другой метод - метод графа состояний системы.

Процесс функционирования системы представим в виде графа на рисунке 3.4.

Когда работают все элементы, система находится в состоянии  . В этом состоянии она будет находится от момента начала работы некоторое случайное время . После отказа одного из элементов система переходит в состояние  ( работает n-1 элемент). В состоянии  система находит случайное время , а потом переходит в состояние  (работают n-2 элемента) и т.д.

Наконец, попав в состояние  (работает только один элемент), система через случайное время переходит в состояние  - состояние отказа системы.

Наработка до отказа системы .

Cледовательно,  .

Найдем распределение cлучайной величины .

- вероятность того, что ни один из элементов не откажет за время t.

Следовательно, .

Получаем, что имеет такое же распределение, как и наработка до отказа системы с последовательным соединением n элементов.

Следовательно, .

Рассмотрим состояние  , в котором работает n-1 элемент. Каждый из этих элементов к моменту перехода системы в состояние  уже проработал время . Однако в силу замечательного свойства объектов с показательным распределением наработки распределение оставшегося времени наработки каждого элемента не зависит от величины . Можно считать, что каждый из этих n-1 элементов только что включился в работу.

Поэтому случайная величина имеет такое же распределение, как и наработка до отказа системы с последовательным соединением (n-1) элементов.

Следовательно, .

Аналогично, , ... , .

Средняя наработка системы с параллельным соединением элементов

,

где  - средняя наработка каждого элемента.

Итак, при параллельном соединении n элементов с одинаковой постоянной интенсивностью отказов средняя наработка системы в раз больше средней наработки каждого элемента.

Если n велико, , т.е. .

Пусть теперь все элементы системы имеют различные значения интенсивности .

Тогда ,

и для средней наработки можно получить следующее выражение

Последовательно - параллельное соединение

Во многих системах применяются как последовательные, так и параллельные соединения элементов. При оценке характеристик надежности такой системы нужно расчленить ее на ряд подсистем , не имеющих общих элементов. Элементы в каждой подсистеме должны быть соединены либо последовательно, либо параллельно. Находятся характеристики надежности каждой подсистемы. После этого рассматривая подсистемы как условные элементы, находим характеристику надежности всей системы.

Пример 1. Рассмотрим систему со структурной схемой, изображенной на рисунке 3.5. Функции надежности элементов обозначим соответственно .

Выделим подсистемы , имеющие функции надежности

;

;

.

Рассматривая подсистемы  как условные элементы , получаем новую структурную схему (рис.3.6.).

Выделим в новой структурной схеме подсистемы и S₅, функции надежности которых

;

.

Так как подсистемы  и соединены параллельно, то функция надежности всей системы

.