1.Модели надежности восстанавливаемого элемента. Расчет показателей надежности.
1. Модель с показательным распределением.
Наработка до отказа имеет показательное распределение c плотностью
и функцией распределения
где >0 - параметр распределения.
Для такого распределения функция надежности .
функция отказа равна .
При малых значениях t часто пользуются приближенными соотношениями . Средняя наработка равна
.
Интенсивность равна .
Таким образом, модель показательного распределения хорошо описывает период нормальной эксплуатации. В силу этого показательное распределение наиболее часто используется в теории надежности.
Данная модель обладает свойством, которое назовем замечательным свойством модели показательного распределения.
Пусть объект проработал без отказа время . Определим условную вероятность того, что он проработает без отказа еще время , т.е. до момента + :
Получаем,
что распределение оставшегося времени
наработки не зависит от того, сколько
времени объект проработал до этого.
2. Модель с распределением Вейбулла.
Наработка до отказа имеет распределение Вейбулла:
где >0, >0 - параметры распределения.
При =1 распределение Вейбулла совпадает с показательным распределением.
Для этой модели ,
где (гамма-функция),
.
График интенсивности отказов при распределении Вейбулла изображен на рисунке 2.4.
После показательного распределения наиболее часто в теории надежности используются распределения Вейбулла.
3. Модель с нормальным распределением.
Наработка до отказа имеет нормальное распределение с плотностью
,
где m и >0 - параметры распределения.
Нормальное распределение не совсем подходит для задач теории надежности, так как случайная величина с нормальным распределением может принимать любые значения от до , а наработка до отказа - положительная величина.
Поэтому вместо нормального в теории надежности часто используют усеченное нормальное распределение, имеющее плотность
где m>0, а c>1 - нормирующий множитель, выбираемый из условия .
Усеченное нормальное распределение обычно применяют, если m<3 . В противном случае с 1,0015 и использование неусеченного нормального распределения дает достаточную точность.
Можно доказать, что в данной модели интенсивность монотонно возрастает и при больших t начинает приближаться к асимптоте (см. рис. 2.5.).
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ.
Показатели надежности оцениваются по результатам испытаний совокупности объектов.
Планом испытаний называют правила, устанавливающие количество исследуемых объектов, порядок проведения испытаний и критерии их прекращения.
Наименование плана принято обозначать тремя параметрами. Первый параметр указывает число испытываемых объектов (N), второй - наличие (В) или отсутствие (Б) восстановлений на время испытаний в случае отказа объекта, третий - условия прекращения испытаний.
Чаще всего применяются следующие планы испытаний:
[N,Б,Т] - в течении времени Т без восстановления испытываются N объектов;
[N,Б,r] - испытания N объектов проводятся без восстановления до того момента, пока не случится r отказов. При r=N получаем план [N,Б,N] - испытания проводятся, пока не откажут все объекты;
[N,Б,(r,T)] - испытания прекращаются либо после r отказов, либо после времени Т (в зависимости от того, что наступит раньше);
[N,B,T], [N,B,r], [N,B,(r,T)] - планы испытаний, в которых производится восстановление отказавших объектов.
Рассмотрим наиболее распространенный план испытаний [N,Б,N]. Введем функцию n(t) - число объектов, отказавших за время t. Тогда оценка функции отказа
.
Оценка функции надежности
.
Для
оценки интенсивности введем малое
значение
.
Тогда оценка частоты отказов
.
Оценка интенсивности отказов
.
Рассмотрим
моменты
,
i=1,2,...,N
отказов каждого объекта. Тогда оценка
средней наработки
.
Пусть известно, что наработка до отказа имеет показательное распределение. Тогда постоянную интенсивность оцениваем по формуле
.
БИЛЕТ №6.